Encontre uma representação em série de potências para a função
abaixo e determine o intervalo de convergência:
Passo 1
Temos a função
. O conteúdo de matéria é séries de potências e vamos usar a expansão em série geométrica para
e depois integrar termo a termo.
Passo 2
Para
, lembramos que a série geométrica é dada por
. Substituindo
, obtemos:
Multiplicamos por
Integramos termo a termo de 0 a
, usando
. Logo,
Passo 3
Para a série original em
convergente precisamos de
, o que dá raio de convergência
. Assim a expansão de
vale em a série
converge por critério de Leibniz; em
ela vira
, que diverge por comparação com a harmônica. Portanto o intervalo de convergência é
.