Encontre uma representação em série de potências para a função f abaixo e determine o intervalo de convergência:
f(x)=integral0^x t1+t^5 d t

Passo 1

Temos a função f(x)=integral0^xt1+t^5,dt. O conteúdo de matéria é séries de potências e vamos usar a expansão em série geométrica para 1/(1+t^5) e depois integrar termo a termo.

Passo 2

Para |t|<1, lembramos que a série geométrica é dada por 1/(1+u)=sumn=0^infty(-1)^n u^n. Substituindo u=t^5, obtemos:
11+t^5=sumn=0^infty(-1)^n t^5n
Multiplicamos por t para escrever o integrando em série:
t1+t^5=sumn=0^infty(-1)^n t^5n+1
Integramos termo a termo de 0 a x, usando integral0^x t^5n+1dt=dfracx^5n+25n+2. Logo,
f(x)=sumn=0^infty(-1)^nx^5n+25n+2

Passo 3

Para a série original em t convergente precisamos de |t|<1, o que dá raio de convergência R=1. Assim a expansão de f(x) vale em a série -1,1) Nos extremos: em (x=1 converge por critério de Leibniz; em sum(-1)^n/(5n+2) ela vira x=-1, que diverge por comparação com a harmônica. Portanto o intervalo de convergência é sum1/(5n+2).

Resposta

f(x)=sumn=0^infty(-1)^nx^5n+25n+2, com intervalo de convergência -1.

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