Utilizando as técnicas de integração que aprendemos, resolva as integrais.
integral x^3+3 x+1x^2-2 x-3 d x;

Passo 1

Neste exercício a gente precisa calcular integral x^3+3x+1x^2-2x-3,dx. O conteúdo envolve integração de função racional, e para resolver vamos usar divisão de polinômios e frações parciais.

Passo 2

Primeiro, fazemos a divisão de polinômios de x^3+3x+1 por x^2-2x-3. Aplicando a divisão longa, obtemos o quociente x+2 e o resto 10x+7. Portanto:
[\frac{x{3}+3x+1}{x{2}-2x-3}=x+2+\frac{10x+7}{x^{2}-2x-3}]

Passo 3

Em seguida, fatoramos o denominador x^2-2x-3=(x-3)(x+1) e escrevemos a parte fracionária em frações parciais:
[\frac{10x+7}{(x-3)(x+1)}=\frac{A}{x-3}+\frac{B}{x+1}]

Passo 4

Multiplicando ambos os lados por (x-3)(x+1) ficamos com: 10x+7=A(x+1)+B(x-3). Igualando coeficientes de x e termo constante, temos
A+B=10, A-3B=7
Resolvendo o sistema, encontramos B=34 e A=374. Logo:
[\frac{10x+7}{(x-3)(x+1)}=\frac{37/4}{x-3}+\frac{3/4}{x+1}]

Passo 5

Agora a integral se reescreve como soma de termos mais simples:
[\int\frac{x{3}+3x+1}{x{2}-2x-3},dx=\int(x+2),dx+\frac{37}{4}\int\frac{dx}{x-3}+\frac{3}{4}\int\frac{dx}{x+1}.]

Passo 6

Por fim, aplicamos as regras de integração integral x,dx=tfracx^22, integral a,dx=ax e integraldxx-a=ln|x-a|. Integrando cada termo, obtemos:
x^22+2x+374ln|x-3|+34ln|x+1|+C

Resposta

\frac{x^{2}}{2}+2x+\frac{37}{4}\ln|x-3|+\frac{3}{4}\ln|x+1|+C

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