Utilizando as técnicas de integração que aprendemos, resolva as integrais.
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Passo 1
Neste exercício a gente precisa calcular
. O conteúdo envolve integração de função racional, e para resolver vamos usar divisão de polinômios e frações parciais.
Passo 2
Primeiro, fazemos a divisão de polinômios de
por
. Aplicando a divisão longa, obtemos o quociente
e o resto
. Portanto:
[\frac{x{3}+3x+1}{x{2}-2x-3}=x+2+\frac{10x+7}{x^{2}-2x-3}]
[\frac{x{3}+3x+1}{x{2}-2x-3}=x+2+\frac{10x+7}{x^{2}-2x-3}]
Passo 3
Em seguida, fatoramos o denominador
e escrevemos a parte fracionária em frações parciais:
[\frac{10x+7}{(x-3)(x+1)}=\frac{A}{x-3}+\frac{B}{x+1}]
[\frac{10x+7}{(x-3)(x+1)}=\frac{A}{x-3}+\frac{B}{x+1}]
Passo 4
Multiplicando ambos os lados por
ficamos com:
. Igualando coeficientes de
e termo constante, temos
Resolvendo o sistema, encontramos
[\frac{10x+7}{(x-3)(x+1)}=\frac{37/4}{x-3}+\frac{3/4}{x+1}]
Passo 5
Agora a integral se reescreve como soma de termos mais simples:
[\int\frac{x{3}+3x+1}{x{2}-2x-3},dx=\int(x+2),dx+\frac{37}{4}\int\frac{dx}{x-3}+\frac{3}{4}\int\frac{dx}{x+1}.]
[\int\frac{x{3}+3x+1}{x{2}-2x-3},dx=\int(x+2),dx+\frac{37}{4}\int\frac{dx}{x-3}+\frac{3}{4}\int\frac{dx}{x+1}.]
Passo 6
Por fim, aplicamos as regras de integração
,
e
. Integrando cada termo, obtemos:
Resposta
\frac{x^{2}}{2}+2x+\frac{37}{4}\ln|x-3|+\frac{3}{4}\ln|x+1|+C