Enontre o raio e o intervalo de convergência da série:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar o raio e o intervalo de convergência da série de potências . O conteúdo aqui é séries de potências e vamos usar o teste da raiz (ou Cauchy) para determinar onde ela converge.
Passo 2
Escrevendo o termo geral com , o teste da raiz diz que devemos calcular
Passo 3
Para convergência precisamos de L<1, ou seja
|x|cdot35<1 Longrightarrow|x|<53
Isso nos dá o raio de convergência R=tfrac53.
Passo 4
Agora analisamos os extremos. Para x=5/3 (ou x=-5/3) o termo geral fica
l(3n+25n+7r)^nl(pm53r)^n =l(15n+1015n+21r)^n =l(1-1115n+21r)^n to e^-11/15neq0
Como o termo geral não tende a zero, a série diverge em x=pm5/3.
Resposta
Raio de convergência: R=tfrac53. Intervalo de convergência: (-5/3,,5/3).