Enontre o raio e o intervalo de convergência da série:
sumn=1^infty(3 n+25 n+7)^n x^n

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o raio e o intervalo de convergência da série de potências sumn=1^inftyl(tfrac3n+25n+7r)^nx^n. O conteúdo aqui é séries de potências e vamos usar o teste da raiz (ou Cauchy) para determinar onde ela converge.

Passo 2

Escrevendo o termo geral an x^n com an=l(tfrac3n+25n+7r)^n, o teste da raiz diz que devemos calcular
L=limntoinftyraiz[n]l|an x^nr| =|x|limntoinfty3n+25n+7 =|x|cdot35

Passo 3

Para convergência precisamos de L<1, ou seja
|x|cdot35<1 Longrightarrow|x|<53
Isso nos dá o raio de convergência R=tfrac53.

Passo 4

Agora analisamos os extremos. Para x=5/3 (ou x=-5/3) o termo geral fica
l(3n+25n+7r)^nl(pm53r)^n =l(15n+1015n+21r)^n =l(1-1115n+21r)^n to e^-11/15neq0
Como o termo geral não tende a zero, a série diverge em x=pm5/3.

Resposta

Raio de convergência: R=tfrac53. Intervalo de convergência: (-5/3,,5/3).

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