Exemplo. A solução de DAlembert para o problema
ut t=ux x & se x in R e t>0 u(x, 0)=e^-x^2 & se x in R ut(x, 0)=11+x^2 & se x in R

Passo 1

Nesse exercício, temos a equação da onda unidimensional com condições iniciais dadas por
u_{tt}=u_{xx}, para x∈ℝ e t>0,
u(x,0)=e{-x2},
u_t(x,0)=\tfrac1{1+x^2}.
O conteúdo da matéria é o método de D’Alembert para resolver a equação da onda numa corda infinita. Para isso, vamos usar a fórmula geral de D’Alembert e depois aplicar as condições iniciais.

Passo 2

A fórmula de D’Alembert para a solução da equação u_{tt}=u_{xx} em ℝ é
u(x,t)=\frac12\bigl(f(x+t)+f(x-t)\bigr)+\frac12\int_{x-t}^{x+t}g(s),ds
onde f(x)=u(x,0) e g(x)=u_t(x,0).

Passo 3

Aqui identificamos
f(x)=e{-x2},
g(x)=\tfrac1{1+x^2}.
Substituindo na fórmula de D’Alembert, obtemos
u(x,t)=\frac12\bigl(e{-(x+t)2}+e{-(x-t)2}\bigr)+\frac12\int_{x-t}{x+t}\frac1{1+s2},ds.

Passo 4

Agora calculamos a integral
\int_{x-t}{x+t}\frac1{1+s2},ds.
Sabendo que a primitiva de 1/(1+s^2) é arctan(s), temos
integralx-t^x+t11+s^2,ds=l[arctan(s)r]s=x-t^s=x+t=arctan(x+t)-arctan(x-t)

Passo 5

Substituindo o resultado da integral na expressão de u(x,t), chegamos à forma final da solução de D’Alembert para este problema.

Resposta

boxedu(x,t)=12l(e^-(x+t)^2+e^-(x-t)^2r)+12l[arctan(x+t)-arctan(x-t)r]

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