Exemplo. A solução de DAlembert para o problema
Passo 1
Nesse exercício, temos a equação da onda unidimensional com condições iniciais dadas por
u_{tt}=u_{xx}, para x∈ℝ e t>0,
u(x,0)=e{-x2},
u_t(x,0)=\tfrac1{1+x^2}.
O conteúdo da matéria é o método de D’Alembert para resolver a equação da onda numa corda infinita. Para isso, vamos usar a fórmula geral de D’Alembert e depois aplicar as condições iniciais.
Passo 2
A fórmula de D’Alembert para a solução da equação u_{tt}=u_{xx} em ℝ é
u(x,t)=\frac12\bigl(f(x+t)+f(x-t)\bigr)+\frac12\int_{x-t}^{x+t}g(s),ds
onde f(x)=u(x,0) e g(x)=u_t(x,0).
Passo 3
Aqui identificamos
f(x)=e{-x2},
g(x)=\tfrac1{1+x^2}.
Substituindo na fórmula de D’Alembert, obtemos
u(x,t)=\frac12\bigl(e{-(x+t)2}+e{-(x-t)2}\bigr)+\frac12\int_{x-t}{x+t}\frac1{1+s2},ds.
Passo 4
Agora calculamos a integral
\int_{x-t}{x+t}\frac1{1+s2},ds.
Sabendo que a primitiva de 1/(1+s^2) é arctan(s), temos
Passo 5
Substituindo o resultado da integral na expressão de u(x,t), chegamos à forma final da solução de D’Alembert para este problema.