Encontre uma representaçāo em série de potências para a funçiò e determine o intervalo de convergéncia:
f(x)=\frac{x^{2}}{(1-x)^{2}}\'

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  • Encontrar uma representação em série de potências para f(x)=\dfrac{x^{2}}{(1-x)^{2}}.
  • Determinar o intervalo de convergência dessa série.
Informação dada: a própria função \;f(x)=\dfrac{x^{2}}{(1-x)^{2}}\;. Não há outras informações numéricas adicionais.

Passo 2

Lembra do que salva a vida aqui: a série geométrica. A fórmula básica é válida para |x|<1:
\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty} x^{n}.
Vou usar essa série como ponto de partida porque \dfrac{1}{(1-x)^{2}} é a derivada em relação a x de \dfrac{1}{1-x}.

Passo 3

Vou diferenciar termo a termo a série geométrica. Antes, uma observação didática: se uma série de potências converge num intervalo |x|<R, pode-se diferenciá-la termo a termo naquele mesmo intervalo e a série derivada terá o mesmo raio de convergência. No nosso caso R=1, então a diferenciação termo a termo é válida para |x|<1.
Diferenciando \dfrac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty} x^{n} obtemos:
\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{1-x}\right)=\frac{1}{(1-x)^{2}}
e
\frac{d}{dx}\left(\sum_{n=0}^{\infty} x^{n}\right)=\sum_{n=0}^{\infty} n x^{n-1}.
Portanto, para |x|<1,
\frac{1}{(1-x)^{2}}=\sum_{n=1}^{\infty} n x^{n-1},
onde a soma começa em n=1 pois o termo n=0 é zero.

Passo 4

Agora multiplico ambos os lados por x^{2} (a operação é válida dentro do intervalo de convergência |x|<1):
\frac{x^{2}}{(1-x)^{2}} = x^{2}\sum_{n=1}^{\infty} n x^{n-1} = \sum_{n=1}^{\infty} n x^{n+1}.
Essa já é uma representação em série de potências, mas podemos reindexar para deixá-la numa forma mais padrão (com expoentes começando em n=0 ou n=2).

Passo 5

Fazer a reindexação: coloque m=n+1. Então quando n=1 temos m=2, e quando n\to\infty temos m\to\infty. Substituindo n=m-1 no somatório:
\sum_{n=1}^{\infty} n x^{n+1} = \sum_{m=2}^{\infty} (m-1) x^{m}.
Assim uma forma muito clara é
\boxed{\frac{x^{2}}{(1-x)^{2}}=\sum_{n=2}^{\infty} (n-1)\,x^{n},\qquad |x|<1.}
Também é comum escrever (sem reindexar) \sum_{n=1}^{\infty} n x^{n+1}; ambas representam a mesma série.

Passo 6

Agora determinar o intervalo de convergência. A série que usamos como base, \sum_{n=0}^{\infty} x^{n}, converge exatamente para |x|<1. As operações que fizemos (diferenciação termo a termo e multiplicação por x^{2}) não aumentam o raio de convergência, portanto o raio de convergência da série para f(x) também é 1. Logo a série converge, pelo menos, para |x|<1.

Passo 7

Testar os pontos extremos x=1 e x=-1 para ver se a convergência se estende a eles.
  • Em x=1: a série \sum_{n=2}^{\infty} (n-1)1^{n}=\sum_{n=2}^{\infty} (n-1) tem termos que não vão a zero (na verdade crescem), logo diverge. Além disso a função original tem singularidade em x=1 (denominador zero).
  • Em x=-1: a série torna-se \sum_{n=2}^{\infty} (n-1)(-1)^{n}. Para que uma série infinita convirga, seus termos devem tender a zero. Aqui os termos têm módulo n-1, que não tende a zero, portanto a série diverge em x=-1. Observação: embora f(-1)=\dfrac{1}{4} seja finito (substituindo na função fechada), a série de potências centrada em 0 falha em convergir no ponto x=-1.
Portanto a convergência não inclui os extremos.

Passo 8

Conclusão final: a representação em série de potências e o intervalo de convergência são os obtidos nos passos anteriores.

Resposta

\displaystyle \frac{x^{2}}{(1-x)^{2}}=\sum_{n=2}^{\infty} (n-1)\,x^{n}
Intervalo de convergência: (-1,1)

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