Encontre uma representaçāo em série de potências para a funçiò e determine o intervalo de convergéncia:
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras:
- Encontrar uma representação em série de potências para
. - Determinar o intervalo de convergência dessa série.
Informação dada: a própria função
. Não há outras informações numéricas adicionais.
Passo 2
Lembra do que salva a vida aqui: a série geométrica. A fórmula básica é válida para
:
Vou usar essa série como ponto de partida porque
é a derivada em relação a
de
.
Passo 3
Vou diferenciar termo a termo a série geométrica. Antes, uma observação didática: se uma série de potências converge num intervalo
, pode-se diferenciá-la termo a termo naquele mesmo intervalo e a série derivada terá o mesmo raio de convergência. No nosso caso
, então a diferenciação termo a termo é válida para
.
Diferenciando
obtemos:
e
Portanto, para
,
onde a soma começa em
pois o termo
é zero.
Passo 4
Agora multiplico ambos os lados por
(a operação é válida dentro do intervalo de convergência
):
Essa já é uma representação em série de potências, mas podemos reindexar para deixá-la numa forma mais padrão (com expoentes começando em
ou
).
Passo 5
Fazer a reindexação: coloque
. Então quando
temos
, e quando
temos
. Substituindo
no somatório:
Assim uma forma muito clara é
Também é comum escrever (sem reindexar)
; ambas representam a mesma série.
Passo 6
Agora determinar o intervalo de convergência. A série que usamos como base,
, converge exatamente para
. As operações que fizemos (diferenciação termo a termo e multiplicação por
) não aumentam o raio de convergência, portanto o raio de convergência da série para
também é
. Logo a série converge, pelo menos, para
.
Passo 7
Testar os pontos extremos
e
para ver se a convergência se estende a eles.
-
Em
: a série tem termos que não vão a zero (na verdade crescem), logo diverge. Além disso a função original tem singularidade em (denominador zero). -
Em
: a série torna-se . Para que uma série infinita convirga, seus termos devem tender a zero. Aqui os termos têm módulo , que não tende a zero, portanto a série diverge em . Observação: embora seja finito (substituindo na função fechada), a série de potências centrada em falha em convergir no ponto .
Portanto a convergência não inclui os extremos.
Passo 8
Conclusão final: a representação em série de potências e o intervalo de convergência são os obtidos nos passos anteriores.
Resposta
Intervalo de convergência: