Encontre a representação em série de potências para as funções e determine o raio de convergência:
f(x)=\frac{1}{1+x^{3}}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas sobre a função f(x)=\frac{1}{1+x^{3}}: encontrar uma representação em série de potências (em torno de 0, isto é, uma série do tipo \sum a_n x^n) e determinar o raio de convergência dessa série.
Informações dadas: a função explícita f(x)=\frac{1}{1+x^{3}}.
Perguntas que vamos responder: (1) qual é a série de potências que representa f(x) centrada em 0; (2) qual é o raio de convergência dessa série.

Passo 2

Lembra do fato clássico sobre série geométrica? A identidade básica é
\frac{1}{1-t}=\sum_{n=0}^{\infty} t^{n}\qquad\text{para }|t|<1.
Aqui t é uma variável qualquer (pode ser real ou complexa); a condição |t|<1 garante convergência absoluta da série geométrica. Essa fórmula é a ferramenta que vamos aplicar: identificar uma expressão da forma \frac{1}{1-t} dentro de f(x) e substituir.

Passo 3

Escrevemos f(x) como uma série geométrica fazendo a substituição t=-x^{3}. Substituindo em \frac{1}{1-t} obtemos
\frac{1}{1-(-x^{3})}=\sum_{n=0}^{\infty}(-x^{3})^{n}\qquad\text{desde que }|-x^{3}|<1.
Como \frac{1}{1-(-x^{3})}=\frac{1}{1+x^{3}}, concluímos que
\frac{1}{1+x^{3}}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}x^{3n},
com a condição de validade |-x^{3}|<1, que é equivalente a |x|^{3}<1 e, por fim, a |x|<1.

Passo 4

Vamos deixar a série bem explícita mostrando os primeiros termos e a regra dos coeficientes. Desenvolvendo os primeiros termos da soma:
\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}x^{3n}=1 - x^{3} + x^{6} - x^{9} + \cdots.
Observação sobre os coeficientes: o coeficiente do termo x^{k} é zero sempre que k não é múltiplo de 3. Para k=3n temos coeficiente a_{3n}=(-1)^{n}. Em notação:
a_k = \begin{cases} (-1)^{n}, & \text{se } k=3n \text{ para algum } n\ge0,\\[4pt] 0, & \text{se } 3\nmid k. \end{cases}]

Passo 5

Agora determinamos o raio de convergência R. A partir da substituição já vimos que a série converge quando |x|<1, então R\ge 1. Para ser rigoroso podemos usar a fórmula geral que relaciona os coeficientes a_n com o raio:
R=\frac{1}{\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}}.
No nosso caso a_{3n}=(-1)^n e para índices não múltiplos de 3 temos a_k=0. Tomando a subsequência n=3m,
\sqrt[3m]{|a_{3m}|}=\sqrt[3m]{1}=1.
Portanto \limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=1 e assim
R=\frac{1}{1}=1.

Passo 6

Uma forma alternativa, rápida e útil de ver o raio é notar onde a função f(x)=\frac{1}{1+x^{3}} tem singularidades (zeros do denominador) no plano complexo. As soluções de 1+x^{3}=0 são as raízes cúbicas de -1, que têm módulo 1. A distância do centro 0 até a singularidade mais próxima é 1, e esse valor é exatamente o raio de convergência da série de potências centrada em 0. Isso confirma R=1.

Passo 7

Comentário sobre a fronteira |x|=1: na borda de convergência a série geralmente precisa ser analisada caso a caso. Para x=1 a série vira \sum(-1)^{n}, que diverge (oscila). Para x=-1 a série vira \sum 1, que claramente diverge. Portanto não há convergência uniforme na borda real |x|=1 nesses pontos; a pergunta pedia apenas o raio, mas vale lembrar que convergência na fronteira é um assunto extra.

Resposta

\frac{1}{1+x^{3}}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}x^{3n}=1-x^{3}+x^{6}-x^{9}+\cdots,\qquad |x|<1.
Raio de convergência: R=1.

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