Encontre a representação em série de potências para as funções e determine o raio de convergência:
Passo 1
O enunciado pede duas coisas sobre a função
: encontrar uma representação em série de potências (em torno de
, isto é, uma série do tipo
) e determinar o raio de convergência dessa série.
Informações dadas: a função explícita .
Perguntas que vamos responder: (1) qual é a série de potências que representa centrada em
; (2) qual é o raio de convergência dessa série.
Informações dadas: a função explícita
Perguntas que vamos responder: (1) qual é a série de potências que representa
Passo 2
Lembra do fato clássico sobre série geométrica? A identidade básica é
Aqui
é uma variável qualquer (pode ser real ou complexa); a condição
garante convergência absoluta da série geométrica. Essa fórmula é a ferramenta que vamos aplicar: identificar uma expressão da forma
dentro de
e substituir.
Passo 3
Escrevemos
como uma série geométrica fazendo a substituição
. Substituindo em
obtemos
Como
, concluímos que
com a condição de validade
, que é equivalente a
e, por fim, a
.
Passo 4
Vamos deixar a série bem explícita mostrando os primeiros termos e a regra dos coeficientes. Desenvolvendo os primeiros termos da soma:
Observação sobre os coeficientes: o coeficiente do termo
é zero sempre que
não é múltiplo de
. Para
temos coeficiente
. Em notação:
Passo 5
Agora determinamos o raio de convergência
. A partir da substituição já vimos que a série converge quando
, então
. Para ser rigoroso podemos usar a fórmula geral que relaciona os coeficientes
com o raio:
No nosso caso
e para índices não múltiplos de
temos
. Tomando a subsequência
,
Portanto
e assim
Passo 6
Uma forma alternativa, rápida e útil de ver o raio é notar onde a função
tem singularidades (zeros do denominador) no plano complexo. As soluções de
são as raízes cúbicas de
, que têm módulo
. A distância do centro
até a singularidade mais próxima é
, e esse valor é exatamente o raio de convergência da série de potências centrada em
. Isso confirma
.
Passo 7
Comentário sobre a fronteira
: na borda de convergência a série geralmente precisa ser analisada caso a caso. Para
a série vira
, que diverge (oscila). Para
a série vira
, que claramente diverge. Portanto não há convergência uniforme na borda real
nesses pontos; a pergunta pedia apenas o raio, mas vale lembrar que convergência na fronteira é um assunto extra.
Resposta
Raio de convergência:
.