(a) Encontre uma representação em série de potências em torno de x=0 da função
f(x)=\int_{0}^{x} \operatorname{sen}\left(t^{2}\right) d t
(b) Agora, use os quatro primeiros termos desta série para aproximar o valor de f(1)=\int_{0}^{1} \operatorname{sen}\left(t^{2}\right) d t por um número com três casas decimais.
(c) Verifique por meio de uma ferramenta computacional se sua aproximação está boa.
Passo 1
O enunciado pede três coisas bem claras:
(a) Encontrar uma representação em série de potências em torno de x=0 para a função
Explicando essa fórmula: a variável da série é u; para cada n a potência é 2n+1 (apenas termos ímpares) e o denominador é o fatorial correspondente (2n+1)!. O sinal alterna porque as derivadas do seno em zero alternam de sinal.
Passo 3
No nosso problema a variável interna do seno é u=t^{2}. Substituindo u=t^{2} na série do seno obtemos:
Aqui a variável de série é t; cada termo é uma potência t^{4n+2} com coeficiente (-1)^n/(2n+1)!.
Passo 4
Agora integramos termo a termo a série em t de 0 a x. Justificativa curta: a série de \operatorname{sen}(u) converge uniformemente em qualquer intervalo compacto, portanto a substituição u=t^2 e a integração termo a termo são permitidas (resultado clássico sobre séries de potências). Integramos cada termo \int_0^x t^{4n+2}\,dt:
Observação sobre convergência: como \operatorname{sen}(u) é inteira (analítica em todo \mathbb{C}), essa série tem raio de convergência infinito — vale para todo x\in\mathbb{R}.
Passo 5
Escrevemos explicitamente os quatro primeiros termos (ou seja, termos com n=0,1,2,3):
Arredondando para três casas decimais (regra usual), f(1)\approx0{,}310.
Passo 7
Agora precisamos verificar se essa aproximação está boa. Note que a série para f(1) é uma série alternada cujos termos em valor absoluto formam uma sequência decrescente (os denominadores crescem muito depressa por causa do fatorial). Podemos aplicar o teste de Leibniz (resto da série alternada): o erro ao truncar após o n-ésimo termo tem módulo menor que o próximo termo em módulo. Para nosso truncamento com quatro termos (último termo corresponde a n=3), o termo seguinte é para n=4:
Portanto o erro absoluto ao usar S_{4}(1) é menor que 1{,}45\times10^{-7}. Isso é muito pequeno — garante que os três primeiros decimais (0{,}310) estão corretos.
Passo 8
Verificação computacional: usando uma ferramenta numérica (por exemplo WolframAlpha, Mathematica ou um script em Python com alta precisão), obtém-se
Comparando com nossa soma truncada S_{4}(1)\approx0{,}3102681578 vemos uma diferença da ordem de 1{,}4\times10^{-7}, em total acordo com o limite de erro estimado pelo teste de Leibniz. Portanto a aproximação com quatro termos dá 0{,}310 com três casas decimais corretamente.