(a) Encontre uma representação em série de potências em torno de x=0 da função
f(x)=\int_{0}^{x} \operatorname{sen}\left(t^{2}\right) d t
(b) Agora, use os quatro primeiros termos desta série para aproximar o valor de f(1)=\int_{0}^{1} \operatorname{sen}\left(t^{2}\right) d t por um número com três casas decimais.
(c) Verifique por meio de uma ferramenta computacional se sua aproximação está boa.

Passo 1

O enunciado pede três coisas bem claras:
  • (a) Encontrar uma representação em série de potências em torno de x=0 para a função
f(x)=\int_{0}^{x}\operatorname{sen}\!\big(t^{2}\big)\,dt.
  • (b) Usar os quatro primeiros termos dessa série para aproximar numericamente
f(1)=\int_{0}^{1}\operatorname{sen}\!\big(t^{2}\big)\,dt
com três casas decimais.
  • (c) Verificar por meio de uma ferramenta computacional se a aproximação obtida em (b) está boa.
Informações dadas/úteis extraídas do enunciado:
  • A integranda é \operatorname{sen}\!\big(t^{2}\big).
  • Integramos de 0 a x (no item (a)) e, no item (b), tomamos x=1.
  • Podemos usar desenvolvimento em série de Taylor (potências) da função seno e integrar termo a termo.

Passo 2

Vamos lembrar a série de Taylor (Maclaurin) da função \operatorname{sen}(u) centrada em u=0. É uma série bem conhecida e convergente para todo u:
\operatorname{sen}(u)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{u^{2n+1}}{(2n+1)!}.
Explicando essa fórmula: a variável da série é u; para cada n a potência é 2n+1 (apenas termos ímpares) e o denominador é o fatorial correspondente (2n+1)!. O sinal alterna porque as derivadas do seno em zero alternam de sinal.

Passo 3

No nosso problema a variável interna do seno é u=t^{2}. Substituindo u=t^{2} na série do seno obtemos:
\operatorname{sen}\!\big(t^{2}\big)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{(t^{2})^{2n+1}}{(2n+1)!} =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{t^{4n+2}}{(2n+1)!}.
Aqui a variável de série é t; cada termo é uma potência t^{4n+2} com coeficiente (-1)^n/(2n+1)!.

Passo 4

Agora integramos termo a termo a série em t de 0 a x. Justificativa curta: a série de \operatorname{sen}(u) converge uniformemente em qualquer intervalo compacto, portanto a substituição u=t^2 e a integração termo a termo são permitidas (resultado clássico sobre séries de potências). Integramos cada termo \int_0^x t^{4n+2}\,dt:
\int_{0}^{x} t^{4n+2}\,dt=\left.\frac{t^{4n+3}}{4n+3}\right|_{0}^{x}=\frac{x^{4n+3}}{4n+3}.
Multiplicando pelo coeficiente (-1)^n/(2n+1)! obtemos a série para f(x):
f(x)=\int_{0}^{x}\operatorname{sen}\!\big(t^{2}\big)\,dt =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{4n+3}}{(4n+3)(2n+1)!}.
Observação sobre convergência: como \operatorname{sen}(u) é inteira (analítica em todo \mathbb{C}), essa série tem raio de convergência infinito — vale para todo x\in\mathbb{R}.

Passo 5

Escrevemos explicitamente os quatro primeiros termos (ou seja, termos com n=0,1,2,3):
  • Para n=0:
\frac{x^{3}}{3\cdot 1!}=\frac{x^{3}}{3}.
  • Para n=1:
(-1)\frac{x^{7}}{7\cdot 3!}=-\frac{x^{7}}{7\cdot 6}=-\frac{x^{7}}{42}.
  • Para n=2:
\frac{x^{11}}{11\cdot 5!}=\frac{x^{11}}{11\cdot 120}=\frac{x^{11}}{1320}.
  • Para n=3:
(-1)\frac{x^{15}}{15\cdot 7!}=-\frac{x^{15}}{15\cdot 5040}=-\frac{x^{15}}{75600}.
Portanto a aproximação por quatro termos (polinômio truncado) é
S_{4}(x)=\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{7}}{42}+\frac{x^{11}}{1320}-\frac{x^{15}}{75600}.

Passo 6

Agora usamos x=1 para aproximar f(1) com esses quatro termos. Substituindo x=1 em S_{4}(x):
S_{4}(1)=\frac{1}{3}-\frac{1}{42}+\frac{1}{1320}-\frac{1}{75600}.
Vamos calcular passo a passo as frações (mostro também os valores decimais):
\frac{1}{3}=0{,}3333333333\ldots
\frac{1}{42}\approx0{,}0238095238 \quad\Rightarrow\quad \frac{1}{3}-\frac{1}{42}\approx0{,}3095238095.
\frac{1}{1320}\approx0{,}0007575758 \quad\Rightarrow\quad 0{,}3095238095+0{,}0007575758\approx0{,}3102813853.
\frac{1}{75600}\approx0{,}0000132275 \quad\Rightarrow\quad 0{,}3102813853-0{,}0000132275\approx0{,}3102681578.
Assim obtivemos a aproximação numérica
S_{4}(1)\approx0{,}3102681578.
Arredondando para três casas decimais (regra usual), f(1)\approx0{,}310.

Passo 7

Agora precisamos verificar se essa aproximação está boa. Note que a série para f(1) é uma série alternada cujos termos em valor absoluto formam uma sequência decrescente (os denominadores crescem muito depressa por causa do fatorial). Podemos aplicar o teste de Leibniz (resto da série alternada): o erro ao truncar após o n-ésimo termo tem módulo menor que o próximo termo em módulo. Para nosso truncamento com quatro termos (último termo corresponde a n=3), o termo seguinte é para n=4:
\text{termo}_{n=4}=\frac{1^{19}}{19\cdot 9!}=\frac{1}{19\cdot 362880}=\frac{1}{6\,894\,720}\approx1{,}45\times10^{-7}.
Portanto o erro absoluto ao usar S_{4}(1) é menor que 1{,}45\times10^{-7}. Isso é muito pequeno — garante que os três primeiros decimais (0{,}310) estão corretos.

Passo 8

Verificação computacional: usando uma ferramenta numérica (por exemplo WolframAlpha, Mathematica ou um script em Python com alta precisão), obtém-se
\int_{0}^{1}\operatorname{sen}\!\big(t^{2}\big)\,dt \approx 0{,}310268301\ldots
Comparando com nossa soma truncada S_{4}(1)\approx0{,}3102681578 vemos uma diferença da ordem de 1{,}4\times10^{-7}, em total acordo com o limite de erro estimado pelo teste de Leibniz. Portanto a aproximação com quatro termos dá 0{,}310 com três casas decimais corretamente.

Resposta

(a) f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{4n+3}}{(4n+3)(2n+1)!}.
(b) f(1)\approx S_{4}(1)=\frac{1}{3}-\frac{1}{42}+\frac{1}{1320}-\frac{1}{75600}\approx0{,}3102681578\\ \Rightarrow\\ f(1)\approx0{,}310.
(c) Valor numérico preciso (ferramenta computacional): \int_{0}^{1}\operatorname{sen}\!\big(t^{2}\big)\,dt\approx0{,}310268301\ldots,
diferença com a aproximação por quatro termos \approx1{,}4\times10^{-7}, logo a aproximação com três casas decimais está correta.

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