Lembra da integral não elementar:
\int e^{-x^{2}} d x=\int_{a}^{x} e^{-t^{2}} d t+C_{a} ?
Agora temos uma excelente ferramenta para aproximar seu valor:
(a) Encontre uma representação em série de potências em torno de x=0 da função
f(x)=\int_{0}^{x} e^{-t^{2}} d t
(b) Agora, use os quatro primeiros termos desta série para aproximar o valor de f(1)=\int_{0}^{1} e^{-t^{2}} d t por um número com três casas decimais.
(c) Verifique por meio de uma ferramenta computacional se sua aproximação está boa.

Passo 1

O enunciado pede três coisas claras:
  • (a) Encontrar uma representação em série de potências em torno de x=0 da função f(x)=\displaystyle\int_{0}^{x} e^{-t^{2}}\,dt.
  • (b) Usar os quatro primeiros termos dessa série para aproximar f(1)=\displaystyle\int_{0}^{1} e^{-t^{2}}\,dt e fornecer o valor com três casas decimais.
  • (c) Verificar com uma ferramenta computacional se a aproximação do item (b) está boa.
Informações dadas que vamos usar:
  • A função integranda é e^{-t^{2}}.
  • Queremos a série centrada em 0 (série de Taylor/Maclaurin) de f(x).
  • Avaliaremos a série em x=1 e compararemos com um valor numérico confiável (computacional).

Passo 2

Vamos obter primeiro a série de potências de e^{-t^{2}} em torno de t=0. Lembra da série de Taylor de e^{u} centrada em 0:
e^{u}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{u^{n}}{n!}.
Aqui tomamos u=-t^{2}. Substituindo obtemos a expansão para e^{-t^{2}}:
e^{-t^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-t^{2})^{n}}{n!}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{t^{2n}}{n!}.
Explicação didática: essa substituição é válida porque a série de e^{u} converge para todo u, logo para todo t e a expansão resultante é uma série em potências de t com termo genérico (-1)^{n}t^{2n}/n!.

Passo 3

Agora integramos termo a termo a série de e^{-t^{2}} de t=0 até t=x. Justificativa breve e prática: a série de potências converge uniformemente em qualquer intervalo compacto [-R,R], então podemos integrar termo a termo nesse intervalo. Integrando cada termo obtemos:
f(x)=\int_{0}^{x} e^{-t^{2}}\,dt=\int_{0}^{x}\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{t^{2n}}{n!}\,dt =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{1}{n!}\int_{0}^{x}t^{2n}\,dt.
Calcule a integral de t^{2n}:
\int_{0}^{x}t^{2n}\,dt=\frac{x^{2n+1}}{2n+1}.
Logo a série para f(x) é
\boxed{\,f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{n!(2n+1)}\,}.
Aqui cada símbolo significa:
  • n é o índice da soma (começa em 0 e vai ao infinito);
  • n! é o fatorial de n;
  • 2n+1 surge da integral de t^{2n}.

Passo 4

Escrevendo explicitamente os primeiros termos da série (desenvolvimento em potências ímpares):
f(x)=x-\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{5}}{2\cdot 5}-\frac{x^{7}}{6\cdot 7}+\frac{x^{9}}{24\cdot 9}-\cdots
ou, em frações simplificadas,
f(x)=x-\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{5}}{10}-\frac{x^{7}}{42}+\frac{x^{9}}{216}-\cdots
Explicação amigável: os sinais alternam porque a série de e^{-t^{2}} tem (-1)^{n}. Os denominadores misturam n! com 2n+1, por isso aparecem 1,3,10,42,\dots.

Passo 5

Item (b): usar os quatro primeiros termos dessa série para aproximar f(1). Os quatro primeiros termos correspondem a n=0,1,2,3, isto é os termos até x^{7}. Avaliando em x=1:
f(1)\approx 1-\frac{1}{3}+\frac{1}{10}-\frac{1}{42}.
Vamos calcular passo a passo as frações:
1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}=\frac{0,666\,666\,\dots}{1},
\frac{2}{3}+\frac{1}{10}=\frac{20}{30}+\frac{3}{30}=\frac{23}{30}=\frac{0,766\,666\,\dots}{1},
\frac{23}{30}-\frac{1}{42}=\frac{23\cdot 7}{210}-\frac{5}{210}=\frac{161-5}{210}=\frac{156}{210}=\frac{26}{35}.
A fração simplificada é \dfrac{26}{35}. Em decimal:
\frac{26}{35}=0,74285714286\ldots
Arredondando para três casas decimais obtemos 0,743.

Passo 6

Item (c): verificação computacional e avaliação da qualidade da aproximação.
Primeiro, relacionando f(1) com a função erro (para referência): existe a expressão
f(1)=\int_{0}^{1}e^{-t^{2}}\,dt=\frac{\sqrt{\pi}}{2}\operatorname{erf}(1),
mas o valor numérico confiável (obtido por cálculo numérico) é
f(1)\approx 0,74682413281\ldots
Comparando com a aproximação com quatro termos 0,74285714286\ldots, a diferença é
\text{erro} \approx 0,74682413281-0,74285714286=0,00396698995\ldots\approx 0,00397.
Portanto a aproximação com quatro termos arredondada para três casas decimais deu 0,743, mas o valor verdadeiro arredondado para três casas decimais é 0,747. Conclusão: a aproximação com quatro termos NÃO atinge precisão de três casas decimais.

Passo 7

Explicação do porquê com um argumento de resto (prático): a série é alternante (sinais (-1)^{n}) e os módulos dos termos para x=1 são
a_{n}=\frac{1}{n!(2n+1)}.
Para séries alternantes com termos monoticamente decrescentes para n grandes, o erro ao truncar após N termos tem módulo menor que o próximo termo a_{N+1}. No nosso caso, truncamos em n=3 (quatro termos), então o resto tem módulo menor que
a_{4}=\frac{1}{4!(2\cdot 4+1)}=\frac{1}{24\cdot 9}=\frac{1}{216}\approx 0,0046296,
o que nos dá uma cota conservadora de erro. O erro real ( \approx0,00397) está abaixo dessa cota, como esperado, mas essa cota ainda é maior que 0,0005 (limite necessário para garantir 3 casas decimais), por isso não havia garantia de precisão de três casas decimais com apenas quatro termos.
Se quisermos garantir erro menor que 0,0005 (para ter certeza da terceira casa decimal), precisamos que o próximo termo satisfaça a_{N+1}\le 0,0005. Testando rapidamente:
a_{5}=\frac{1}{120\cdot 11}=\frac{1}{1320}\approx 0,0007576>0,0005,
a_{6}=\frac{1}{720\cdot 13}=\frac{1}{9360}\approx 0,0001068<0,0005.
Isso indica que somando os termos até n=5 (ou seja, os seis primeiros termos n=0,\dots,5) o resto será \le a_{6}\approx 0,0001068, suficiente para assegurar três casas decimais corretas. Somando até n=5 obtém-se numericamente aproximadamente 0,7467291967, que já arredonda para 0,747 e está muito próximo do valor verdadeiro 0,7468241328.

Resposta

(a) \displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{n!(2n+1)}.
(b) Usando os quatro primeiros termos: \displaystyle f(1)\approx \frac{26}{35}=0,742857\ldots \approx 0,743.
(c) Valor numérico (ferramenta computacional): \displaystyle f(1)\approx 0,74682413281\ldots. Diferença em relação à aproximação com quatro termos: \approx 0,003967; portanto a aproximação com quatro termos não é precisa a três casas decimais.

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