Escreva as séries abaixo como uma série cujo primeiro termo corresponde a
:
Passo 1
O enunciado pede que a série
seja reescrita como uma série cujo primeiro termo corresponde a
. Informação dada: a soma começa em
e o termo geral é
.
Passo 2
Ideia principal (conceito): podemos trocar o índice de somação para reescrever a série começando em
. Isso é chamado de mudança de índice ou deslocamento de índice. É válido porque a letra do índice é apenas um nome (um “índice fictício”) e podemos definir uma nova variável que corresponda ao deslocamento desejado.
Passo 3
Façamos a mudança de variável. Defina
Agora vamos transformar os limites e o termo geral em função de
:
- Quando
, temos . - Quando
, temos .
Passo 4
Escrevendo o termo geral em função de
:
Portanto a soma em termos de
fica
Passo 5
Observação sobre a notação: o índice é um símbolo de somação. Para responder exatamente como pedido (usar
começando em
), podemos renomear
de volta para
— isso não muda a soma porque o nome do índice é irrelevante. Assim obtemos
Passo 6
Comentário didático rápido: a série obtida
é a expansão em série de potências da função exponencial; ou seja,
Isso é útil para reconhecer somas e calcular valores numéricos sem somar termo a termo.