Escreva as séries abaixo como uma série cujo primeiro termo corresponde a n=0 :
\sum_{n=10}^{\infty} \frac{x^{n-10}}{(n-10)!}

Passo 1

O enunciado pede que a série
\sum_{n=10}^{\infty}\frac{x^{n-10}}{(n-10)!}
seja reescrita como uma série cujo primeiro termo corresponde a n=0. Informação dada: a soma começa em n=10 e o termo geral é \dfrac{x^{n-10}}{(n-10)!}.

Passo 2

Ideia principal (conceito): podemos trocar o índice de somação para reescrever a série começando em 0. Isso é chamado de mudança de índice ou deslocamento de índice. É válido porque a letra do índice é apenas um nome (um “índice fictício”) e podemos definir uma nova variável que corresponda ao deslocamento desejado.

Passo 3

Façamos a mudança de variável. Defina
k = n-10.
Agora vamos transformar os limites e o termo geral em função de k:
  • Quando n=10, temos k=10-10=0.
  • Quando n\to\infty, temos k\to\infty.

Passo 4

Escrevendo o termo geral em função de k:
\frac{x^{n-10}}{(n-10)!}=\frac{x^{k}}{k!}.
Portanto a soma em termos de k fica
\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{k}}{k!}.

Passo 5

Observação sobre a notação: o índice é um símbolo de somação. Para responder exatamente como pedido (usar n começando em 0), podemos renomear k de volta para n — isso não muda a soma porque o nome do índice é irrelevante. Assim obtemos
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!}.

Passo 6

Comentário didático rápido: a série obtida \sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{x^{n}}{n!} é a expansão em série de potências da função exponencial; ou seja,
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!}=e^{x}.
Isso é útil para reconhecer somas e calcular valores numéricos sem somar termo a termo.

Resposta

\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!}

Exercícios relacionados