Encontre uma representação em séries de potências \mathrm{e} o raio de convergência da função dada por
f(x)=\int x \cos \left(x^{3}\right) d x
Dica: \cos (x)=\sum_{n=0} \frac{(-1)^{n} x^{2 n}}{(2 n)!}.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para a função
f(x)=\int x\cos\bigl(x^{3}\bigr)\,dx.
As perguntas são:
  1. Encontrar uma representação em séries de potências para f(x) (ou seja, escrever f(x) como uma soma \sum a_n x^n mais constante de integração).
  2. Determinar o raio de convergência dessa série.
Informações dadas e relevantes:
\cos(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}
(está explícito no enunciado). Não há outras informações adicionais.

Passo 2

Vamos usar a série dada para \cos. A série é uma soma indexada por n, onde cada termo é \dfrac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}. Aqui:
  • (-1)^n dá o sinal alternado dos termos,
  • x^{2n} é a potência de x correspondente ao termo n,
  • (2n)! é o fatorial de 2n, que cresce muito rápido e ajuda na convergência da série.
Agora substituímos x por x^{3} na série de \cos (isto é, usamos z=x^{3} na expansão de \cos z). Fazendo isso obtemos a série de \cos\bigl(x^{3}\bigr):
\cos\bigl(x^{3}\bigr)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}\bigl(x^{3}\bigr)^{2n}}{(2n)!}.

Passo 3

Simplificamos a potência \bigl(x^{3}\bigr)^{2n}. Pela lei das potências, (x^{3})^{2n}=x^{6n}. Portanto:
\cos\bigl(x^{3}\bigr)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}x^{6n}}{(2n)!}.
Isto significa que cada termo da série de \cos(x^{3}) é \dfrac{(-1)^n}{(2n)!}x^{6n}.

Passo 4

Multiplicamos por x porque a integranda é x\cos(x^{3}). Multiplicando termo a termo:
x\cos\bigl(x^{3}\bigr)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}x^{6n+1}}{(2n)!}.
Aqui cada termo é \dfrac{(-1)^n}{(2n)!}x^{6n+1}.
Explicação didática: multiplicar uma série de potências por um monômio x^{k} apenas aumenta os expoentes de cada termo em k; os coeficientes permanecem os mesmos.

Passo 5

Agora integramos termo a termo. Regra básica de integração de potências: para um expoente \alpha\neq -1,
\int x^{\alpha}\,dx=\frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C.
Aqui \alpha será \alpha=6n+1. Como isso vale para cada termo e a série de potências converge uniformemente em compactos dentro do raio de convergência, é permitido integrar termo a termo (teorema padrão sobre séries de potências).
Aplicando a fórmula de integração a cada termo \dfrac{(-1)^n}{(2n)!}x^{6n+1}, obtemos
\int \frac{(-1)^n}{(2n)!}x^{6n+1}\,dx = \frac{(-1)^n}{(2n)!}\cdot\frac{x^{6n+2}}{6n+2} + C_n,
onde C_n é a constante de integração de cada termo; ao somar todos os termos juntamos as constantes em uma única constante C.

Passo 6

Somando sobre todos os n e agrupando a constante de integração, a representação em séries de potências para f(x) fica:
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{(2n)!\,(6n+2)}\,x^{6n+2} + C.
Podemos também escrever 6n+2=2(3n+1) se quisermos fatorar:
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{2(3n+1)(2n)!}\,x^{6n+2} + C.
Aqui C é a constante arbitrária de integração.

Passo 7

Agora determinamos o raio de convergência. Raciocínio prático e direto:
  • A série de \cos(x) tem raio de convergência infinito (é convergente para todo x, porque \cos é uma função inteira).
  • Substituir x por x^{3} não altera o fato de que a série converge para todos os x: se uma série tem raio de convergência R=\infty, então a série obtida por x\mapsto x^{3} também tem raio \infty.
  • Multiplicar por x e integrar termo a termo não diminui o raio de convergência (operações term-wise em séries de potências preservam o mesmo raio).
Portanto o raio de convergência da série de f(x) é infinito: R=\infty.
Justificativa alternativa rápida (se preferir ver com teste da razão): o coeficiente geral tem fatorial (2n)! no denominador e cresce muito rápido, o que também garante raio infinito; a presença do fator 6n+2 no denominador apenas melhora a convergência.

Resposta

f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{(2n)!\,(6n+2)}\,x^{6n+2}+C
Raio de convergência: R=\infty

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