Encontre uma representação em séries de potências
raio de convergência da função dada por
Dica:
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas para a função
As perguntas são:
- Encontrar uma representação em séries de potências para
(ou seja, escrever como uma soma mais constante de integração). - Determinar o raio de convergência dessa série.
Informações dadas e relevantes:
(está explícito no enunciado). Não há outras informações adicionais.
Passo 2
Vamos usar a série dada para
. A série é uma soma indexada por
, onde cada termo é
. Aqui:
-
dá o sinal alternado dos termos, -
é a potência de correspondente ao termo , -
é o fatorial de , que cresce muito rápido e ajuda na convergência da série.
Agora substituímos
por
na série de
(isto é, usamos
na expansão de
). Fazendo isso obtemos a série de
:
Passo 3
Simplificamos a potência
. Pela lei das potências,
. Portanto:
Isto significa que cada termo da série de
é
.
Passo 4
Multiplicamos por
porque a integranda é
. Multiplicando termo a termo:
Aqui cada termo é
.
Explicação didática: multiplicar uma série de potências por um monômio
apenas aumenta os expoentes de cada termo em
; os coeficientes permanecem os mesmos.
Passo 5
Agora integramos termo a termo. Regra básica de integração de potências: para um expoente
,
Aqui
será
. Como isso vale para cada termo e a série de potências converge uniformemente em compactos dentro do raio de convergência, é permitido integrar termo a termo (teorema padrão sobre séries de potências).
Aplicando a fórmula de integração a cada termo
, obtemos
onde
é a constante de integração de cada termo; ao somar todos os termos juntamos as constantes em uma única constante
.
Passo 6
Somando sobre todos os
e agrupando a constante de integração, a representação em séries de potências para
fica:
Podemos também escrever
se quisermos fatorar:
Aqui
é a constante arbitrária de integração.
Passo 7
Agora determinamos o raio de convergência. Raciocínio prático e direto:
- A série de
tem raio de convergência infinito (é convergente para todo , porque é uma função inteira). - Substituir
por não altera o fato de que a série converge para todos os : se uma série tem raio de convergência , então a série obtida por também tem raio . - Multiplicar por
e integrar termo a termo não diminui o raio de convergência (operações term-wise em séries de potências preservam o mesmo raio).
Portanto o raio de convergência da série de
é infinito:
.
Justificativa alternativa rápida (se preferir ver com teste da razão): o coeficiente geral tem fatorial
no denominador e cresce muito rápido, o que também garante raio infinito; a presença do fator
no denominador apenas melhora a convergência.
Resposta
Raio de convergência: