Determine a+b, 2 a+3 b,|a| ∈|a-b|.
a=i+2 j-3 k, \quad b=-2 i-j+5 k

Passo 1

O enunciado nos dá os vetores
a = 1\mathbf{i} + 2\mathbf{j} - 3\mathbf{k}
b = -2\mathbf{i} - 1\mathbf{j} + 5\mathbf{k}
e pede para determinar a+b, 2a+3b, |a| e |a-b|.
As informações relevantes são os componentes de a e b: \,a=(1,2,-3) e b=(-2,-1,5).

Passo 2

Como somar vetores (explicação didática): para somar dois vetores escrevemos e somamos componente a componente. Se u=(u_1,u_2,u_3) e v=(v_1,v_2,v_3), então
u+v=(u_1+v_1,\;u_2+v_2,\;u_3+v_3).
Aplicando isso a a e b:
a+b=(1+(-2),\;2+(-1),\;-3+5).
Calculando cada componente:
1+(-2)=-1,\quad 2+(-1)=1,\quad -3+5=2.
Portanto
a+b = (-1,\,1,\,2).

Passo 3

Como multiplicar um vetor por escalar e somar combinações lineares (explicação didática): se c é escalar e u=(u_1,u_2,u_3), então
c\,u=(c u_1,\;c u_2,\;c u_3).
Para 2a+3b primeiro calculamos 2a e 3b:
2a=(2\cdot1,\;2\cdot2,\;2\cdot(-3))=(2,\,4,\,-6),
3b=(3\cdot(-2),\;3\cdot(-1),\;3\cdot5)=(-6,\,-3,\,15).
Agora somamos componente a componente:
2a+3b=(2+(-6),\;4+(-3),\;-6+15).
Calculando:
2+(-6)=-4,\quad 4+(-3)=1,\quad -6+15=9.
Logo
2a+3b = (-4,\,1,\,9).

Passo 4

Norma (módulo) de um vetor — conceito e fórmula: a norma de um vetor u=(u_1,u_2,u_3) é dada por
\lVert u\rVert = \sqrt{u_1^2+u_2^2+u_3^2}.
Isto vem do teorema de Pitágoras em 3 dimensões: somamos os quadrados das componentes e extraímos a raiz quadrada.

Passo 5

Aplicando a fórmula ao vetor a=(1,2,-3):
\lVert a\rVert = \sqrt{1^2+2^2+(-3)^2} = \sqrt{1+4+9} = \sqrt{14}.

Passo 6

Para \lVert a-b\rVert primeiro calculamos a-b componente a componente:
a-b=(1-(-2),\;2-(-1),\;-3-5).
Calculando:
1-(-2)=3,\quad 2-(-1)=3,\quad -3-5=-8,
portanto
a-b=(3,\,3,\,-8).
Agora a norma:
\lVert a-b\rVert = \sqrt{3^2+3^2+(-8)^2} = \sqrt{9+9+64} = \sqrt{82}.

Resposta

a+b = (-1,\,1,\,2)
2a+3b = (-4,\,1,\,9)
\lVert a\rVert = \sqrt{14}
\lVert a-b\rVert = \sqrt{82}

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