1. Encontre uma representação por séries de potências das seguintes funções. Determine o raio de convergência.
  2. x1-x^2

Passo 1

O enunciado pede a série de potências de
f(x)=x1-x^2
e o raio de convergência. Vamos usar a série geométrica básica
11-u=sumn=0^inftyu^n, |u|<1

Passo 2

Escolhemos u=x^2. Substituindo na série geométrica, obtemos
11-x^2=sumn=0^infty(x^2)^n=sumn=0^inftyx^2n,
válida enquanto |x^2|<1, isto é, |x|<1.

Passo 3

Para chegar em f(x), basta multiplicar a série por x:
x1-x^2 = xsumn=0^inftyx^2n = sumn=0^inftyx^2n+1

Passo 4

A condição de convergência é |x|<1. Portanto, o raio de convergência é
R = 1

Resposta

x1-x^2 = sumn=0^inftyx^2n+1, R = 1

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