Resolva as seguintes EDOs pelo método da separação de variáveis:
(0,5) d yd x=3 x y^2

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem e separável
(0,5),dydx=3,x,y^2
e pede a solução geral pelo método da separação de variáveis. Vamos isolar y de um lado e x do outro para integrar.

Passo 2

Primeiro, escrevemos
dydx=3,x,y^20,5=6,x,y^2
Agora, dividimos ambos os lados por y^2 e multiplicamos por dx:
1y^2,dy=6,x,dx

Passo 3

Integramos ambos os lados:
integral 1y^2,dy=integral 6,x,dx
Como integral y^-2dy=-y^-1 e integral 6x,dx=3x^2, obtemos
-y^-1=3x^2+C,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Invertendo e renomeando a constante, temos
1y=-3x^2-C Longrightarrow 1y=C1-3x^2,
com C1=-C. Finalmente, isolamos y:
y=1C1-3x^2,
que é a solução geral.

Resposta

y(x)=1C-3x^2,
onde C é uma constante arbitrária.

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