Encontre e represente a transformada de Fourier dos seguintes sinais no domínio do tempo:
f(t)=\left(1-e^{-t}\right) u(t)

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Fourier de
f(t)=\bigl(1 - e^{-t}\bigr)\,u(t).
O que vamos usar é a propriedade de linearidade e as transformadas conhecidas de u(t) e de e^{-at}u(t).

Passo 2

Separe f(t) em
f(t)=u(t)\;-\;e^{-t}u(t).
Pelas tabelas de transformada de Fourier:
  1. A transformada de u(t) é
\mathcal{F}\{u(t)\} = \mathrm{PV}\Bigl(\frac{1}{j\omega}\Bigr)\;+\;\pi\,\delta(\omega).
  1. A transformada de e^{-t}u(t) (com a=1>0) é
\mathcal{F}\{e^{-t}u(t)\} =\frac{1}{1 + j\omega}.

Passo 3

Pela linearidade, a transformada de f(t) é
F(\omega) =\mathcal{F}\{u(t)\} \;-\;\mathcal{F}\{e^{-t}u(t)\} =\Bigl[\mathrm{PV}\Bigl(\frac{1}{j\omega}\Bigr)+\pi\,\delta(\omega)\Bigr] \;-\;\frac{1}{1 + j\omega}.

Resposta

F(\omega) =\mathrm{PV}\!\Bigl(\frac{1}{j\omega}\Bigr) +\pi\,\delta(\omega) -\frac{1}{1 + j\omega}.

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