Encontre a transformada de Fourier para cada um dos sinais abaixo utilizando a tabela de transformadas de sinais básicos e propriedades.
f(t)=t[u(t)-u(t-5)]

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Fourier do sinal
f(t)=t\bigl[u(t)-u(t-5)\bigr],
ou seja, é um “rampa” limitada ao intervalo [0,5]. Para encontrar
F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-\,j\omega t}\,dt
basta observar que f(t)=0 fora de [0,5] e então calcular
F(\omega)=\int_{0}^{5}t\,e^{-\,j\omega t}\,dt.
Vamos usar integração por partes para resolver essa integral.

Passo 2

Definimos as funções para a integração por partes:
u(t)=t,\quad dv=e^{-\,j\omega t}\,dt.
Então
du=dt,\quad v=\int e^{-\,j\omega t}\,dt=-\frac{1}{j\omega}\,e^{-\,j\omega t}.
Pela fórmula
\int_{0}^{5}t\,e^{-\,j\omega t}\,dt =\Bigl[u\,v\Bigr]_{0}^{5} -\int_{0}^{5}v\,du.

Passo 3

Avaliação do primeiro termo u\,v nos limites:
\Bigl[-\frac{t}{j\omega}\,e^{-\,j\omega t}\Bigr]_{0}^{5} =-\frac{5}{j\omega}\,e^{-\,j\omega\cdot5} -\Bigl(-\frac{0}{j\omega}\,e^{-\,j\omega\cdot0}\Bigr) =-\frac{5}{j\omega}\,e^{-\,j5\omega}.

Passo 4

O segundo termo é
-\int_{0}^{5}v\,du =-\int_{0}^{5}\Bigl(-\frac{1}{j\omega}e^{-\,j\omega t}\Bigr)\,dt =\frac{1}{j\omega}\int_{0}^{5}e^{-\,j\omega t}\,dt
e essa última integral satisfaz
\int_{0}^{5}e^{-\,j\omega t}\,dt =\frac{e^{-\,j\omega\cdot5}-1}{-\,j\omega} =\frac{1-e^{-\,j5\omega}}{j\omega}.
Então
\frac{1}{j\omega}\int_{0}^{5}e^{-\,j\omega t}\,dt =\frac{1}{j\omega}\,\frac{1-e^{-\,j5\omega}}{j\omega} =\frac{e^{-\,j5\omega}-1}{\omega^{2}}.

Passo 5

Somando os dois termos obtemos
F(\omega) =\int_{0}^{5}t\,e^{-\,j\omega t}\,dt =-\frac{5}{j\omega}\,e^{-\,j5\omega} +\frac{e^{-\,j5\omega}-1}{\omega^{2}}.

Resposta

F(\omega) =\frac{e^{-\,j5\omega}-1}{\omega^{2}} -\frac{5\,e^{-\,j5\omega}}{j\omega}.

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