A partir da tabela de transformadas de Fourier e das identidades \operatorname{sen}(a t)=\frac{e^{\text {lat }}-e^{- \text {lat }}}{2 i} e \cos (a t)=\frac{e^{\text {lat }}+e^{- \text {lat }}}{2}, determine:
A transformada de Fourier da função \cos (a t).

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Fourier de \cos(a t). O conteúdo principal aqui é a transformada de Fourier usando a representação exponencial de funções trigonométricas e a tabela de transformadas, em particular a de e^{\pm i a t}. Vamos usar a definição padrão
\mathcal{F}\{f(t)\}(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)\,e^{-i\omega t}\,dt
e a propriedade de linearidade.

Passo 2

Usamos a identidade exponencial para o cosseno:
\cos(a t)=\frac{e^{i a t}+e^{-i a t}}{2}.
Isso permite escrever a transformada como soma de duas exponenciais.

Passo 3

Pela linearidade da transformada de Fourier,
\mathcal{F}\{\cos(a t)\}(\omega) =\frac{1}{2}\,\mathcal{F}\{e^{i a t}\}(\omega) +\frac{1}{2}\,\mathcal{F}\{e^{-i a t}\}(\omega).
Da tabela, sabemos que
\mathcal{F}\{e^{i a t}\}(\omega)=2\pi\,\delta(\omega - a), \qquad \mathcal{F}\{e^{-i a t}\}(\omega)=2\pi\,\delta(\omega + a).

Passo 4

Substituindo esses resultados na expressão anterior, obtemos
\mathcal{F}\{\cos(a t)\}(\omega) =\frac{1}{2}\bigl(2\pi\,\delta(\omega - a)\bigr) +\frac{1}{2}\bigl(2\pi\,\delta(\omega + a)\bigr) =\pi\bigl[\delta(\omega - a)+\delta(\omega + a)\bigr].

Resposta

\mathcal{F}\{\cos(a t)\}(\omega) =\pi\bigl[\delta(\omega - a)+\delta(\omega + a)\bigr].

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