Encontre a resposta natural do sistema a seguir:
\begin{aligned} q[n+1] & =\left[\begin{array}{cc} 0 & 1 \\\\ -0.21 & 1 \end{array}\right] q[n]+\left[\begin{array}{l} 0 \\\\ 1 \end{array}\right] x[n] \\\ y[n] & =q_{2}[n] \end{aligned}

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema de equações em espaço de estados (peguei tudo do enunciado):
\begin{aligned} q[n+1] &= A\,q[n] + B\,x[n],\\[4pt] y[n] &= q_2[n], \end{aligned}
com
A=\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]-0.21 & 1\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\end{pmatrix}.
O que o enunciado pede é a resposta natural do sistema. Ou seja:
  • calcular a resposta do sistema quando a entrada é nula ( x[n]=0) — também chamada de resposta homogênea ou resposta livre;
  • essa resposta depende somente do estado inicial q[0]. Vou chamar q[0]=\begin{pmatrix}q_1[0]\\[4pt]q_2[0]\end{pmatrix}.
    Não há valores numéricos de condições iniciais fornecidos, então a resposta natural deve ficar expressa em função de q_1[0] e q_2[0].]

Passo 2

Definição e equação do problema homogêneo:
  • Com x[n]=0 obtemos o sistema homogêneo
q[n+1]=A\,q[n].
  • A solução geral (resposta natural) é dada por
q[n]=A^{n}q[0].
Meu objetivo é obter uma fórmula explícita para A^{n}q[0]. Um método eficiente é diagonalizar A (quando possível) ou usar os autovalores e autovetores para escrever q[n] como soma de modos exponenciais.

Passo 3

Calcular o polinômio característico de A (peguei a matriz A do enunciado):
\det(\lambda I - A) = \det\!\begin{pmatrix}\lambda & -1\\[4pt]0.21 & \lambda-1\end{pmatrix} = \lambda(\lambda-1)-(-1)(0.21) = \lambda^{2}-\lambda+0.21.
Os autovalores são as raízes de
\lambda^{2}-\lambda+0.21=0.
Calculo do discriminante:
\Delta = (-1)^{2}-4\cdot1\cdot0.21 = 1-0.84 = 0.16,
logo as raízes são
\lambda=\frac{1\pm\sqrt{0.16}}{2}=\frac{1\pm 0.4}{2}.
Portanto os autovalores são
\lambda_1=0.7,\qquad \lambda_2=0.3.]

Passo 4

Encontrar autovetores associados. Para \lambda qualquer, resolver (A-\lambda I)v=0.
  • Para \lambda_1=0.7:
(A-0.7I)=\begin{pmatrix}-0.7 & 1\\[4pt]-0.21 & 0.3\end{pmatrix}.
Da primeira linha -0.7 v_1 + v_2 =0 segue v_2=0.7 v_1. Tomando v_1=1 obtemos
v^{(1)}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]0.7\end{pmatrix}.
  • Para \lambda_2=0.3:
(A-0.3I)=\begin{pmatrix}-0.3 & 1\\[4pt]-0.21 & 0.7\end{pmatrix},
da primeira linha -0.3 v_1 + v_2 =0 segue v_2=0.3 v_1. Tomando v_1=1 obtemos
v^{(2)}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]0.3\end{pmatrix}.
Como v^{(1)} e v^{(2)} são linearmente independentes, A é diagonalizável e podemos escrever soluções em termos desses modos.]

Passo 5

Escrever q[0]\) como combinação linear dos autovetores: \[q[0]=\alpha\,v^{(1)}+\beta\,v^{(2)}.
Isso dá o sistema para \alpha,\beta:
\begin{cases} \alpha+\beta = q_1[0],\\[4pt] 0.7\alpha+0.3\beta = q_2[0]. \end{cases}
Resolvo de forma elementar. Subtraindo 0.3\] vezes a primeira equação da segunda: \[0.7\alpha+0.3\beta - 0.3(\alpha+\beta)=q_2[0]-0.3q_1[0].\] Isso simplifica para \[0.4\alpha = q_2[0]-0.3q_1[0],\] logo \[\alpha = \frac{q_2[0]-0.3q_1[0]}{0.4}.\] Como \(0.4=\tfrac{2}{5} podemos escrever \displaystyle \alpha=\frac{5}{2}q_2[0]-\frac{3}{4}q_1[0].
Em seguida
\beta = q_1[0]-\alpha = q_1[0]-\left(\frac{5}{2}q_2[0]-\frac{3}{4}q_1[0]\right) = \frac{7}{4}q_1[0]-\frac{5}{2}q_2[0].]

Passo 6

Construir a solução temporal do estado. Como cada autovetor gera um modo \lambda^{n}, temos
q[n]=\alpha\,\lambda_1^{\,n}\,v^{(1)}+\beta\,\lambda_2^{\,n}\,v^{(2)}.
Substituindo \lambda_1=0.7,\\ \lambda_2=0.3 e os v's:
q[n]=\alpha\,0.7^{n}\begin{pmatrix}1\\[4pt]0.7\end{pmatrix} +\beta\,0.3^{n}\begin{pmatrix}1\\[4pt]0.3\end{pmatrix}.
Como a saída é y[n]=q_2[n] (segunda componente do vetor estado), extraio:
y[n]=\alpha\,0.7^{n}\cdot 0.7 + \beta\,0.3^{n}\cdot 0.3 = \alpha\,0.7^{\,n+1} + \beta\,0.3^{\,n+1}.]

Passo 7

Substituir os coeficientes \alpha,\beta em função de q_1[0],q_2[0]. Usando as formas fracionárias:
\alpha = -\tfrac{3}{4}q_1[0] + \tfrac{5}{2}q_2[0],\qquad \beta = \tfrac{7}{4}q_1[0] - \tfrac{5}{2}q_2[0].
Então a resposta natural (zero-entrada) para y[n] fica
y[n]=\Big(-\tfrac{3}{4}q_1[0] + \tfrac{5}{2}q_2[0]\Big)\,0.7^{\,n+1} +\Big(\tfrac{7}{4}q_1[0] - \tfrac{5}{2}q_2[0]\Big)\,0.3^{\,n+1}.

Resposta

y[n]=\Big(-\tfrac{3}{4}q_1[0] + \tfrac{5}{2}q_2[0]\Big)\,0.7^{\,n+1} +\Big(\tfrac{7}{4}q_1[0] - \tfrac{5}{2}q_2[0]\Big)\,0.3^{\,n+1}

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