O que o enunciado pede é a resposta natural do sistema. Ou seja:
calcular a resposta do sistema quando a entrada é nula (x[n]=0) — também chamada de resposta homogênea ou resposta livre;
essa resposta depende somente do estado inicial q[0]. Vou chamar q[0]=\begin{pmatrix}q_1[0]\\[4pt]q_2[0]\end{pmatrix}.
Não há valores numéricos de condições iniciais fornecidos, então a resposta natural deve ficar expressa em função de q_1[0] e q_2[0].]
Passo 2
Definição e equação do problema homogêneo:
Com x[n]=0 obtemos o sistema homogêneo
q[n+1]=A\,q[n].
A solução geral (resposta natural) é dada por
q[n]=A^{n}q[0].
Meu objetivo é obter uma fórmula explícita para A^{n}q[0]. Um método eficiente é diagonalizar A (quando possível) ou usar os autovalores e autovetores para escrever q[n] como soma de modos exponenciais.
Passo 3
Calcular o polinômio característico de A (peguei a matriz A do enunciado):
\det(\lambda I - A) = \det\!\begin{pmatrix}\lambda & -1\\[4pt]0.21 & \lambda-1\end{pmatrix} = \lambda(\lambda-1)-(-1)(0.21) = \lambda^{2}-\lambda+0.21.
Resolvo de forma elementar. Subtraindo 0.3\] vezes a primeira equação da segunda:
\[0.7\alpha+0.3\beta - 0.3(\alpha+\beta)=q_2[0]-0.3q_1[0].\]
Isso simplifica para
\[0.4\alpha = q_2[0]-0.3q_1[0],\]
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\[\alpha = \frac{q_2[0]-0.3q_1[0]}{0.4}.\]
Como \(0.4=\tfrac{2}{5} podemos escrever \displaystyle \alpha=\frac{5}{2}q_2[0]-\frac{3}{4}q_1[0].
Em seguida