Encontre y[n] sendo:
\begin{aligned} q[n+1] & =\left[\begin{array}{cc} 2 & -3 \\\\ 0 & 5 \end{array}\right] q[n]+\left[\begin{array}{l} 1 \\\\ 1 \end{array}\right] x[n] \\\ y[n] & =q_{2}[n] \end{aligned}
com condições inicias q[0]=\left[\begin{array}{ll}0 & 5\end{array}\right]^{\top} e entrada x[n]=u[n].

Passo 1

O enunciado fornece um sistema de estado discreto com:
  • Matriz de estado \displaystyle A=\begin{bmatrix}2 & -3\\[4pt]0 & 5\end{bmatrix}.
  • Vetor de entrada \displaystyle b=\begin{bmatrix}1\\[4pt]1\end{bmatrix}.
  • Estado inicial \displaystyle q[0]=\begin{bmatrix}0\\[4pt]5\end{bmatrix}.
  • Entrada \displaystyle x[n]=u[n] (a função degrau unitário, ou seja \displaystyle x[k]=1 para todo \displaystyle k\ge0).
  • Saída \displaystyle y[n]=q_{2}[n] (o segundo componente do vetor de estado).
O que se pede: encontrar uma expressão fechada para \displaystyle y[n] válida para \displaystyle n\ge0.]

Passo 2

Vou escrever a solução geral do sistema recorrente. Para o sistema
q[n+1]=A\,q[n]+b\,x[n],
com estado inicial \displaystyle q[0], a solução para \displaystyle q[n] é (propriedade padrão de sistemas lineares):
q[n]=A^{n}q[0]+\sum_{k=0}^{n-1}A^{\,n-1-k}b\,x[k].
Como aqui \displaystyle x[k]=1 para todo \displaystyle k\ge0, podemos trocar a soma por uma soma direta de potências de A. Fazendo a mudança de índice \displaystyle m=n-1-k obtemos a forma equivalente
q[n]=A^{n}q[0]+\sum_{m=0}^{n-1}A^{m}b.
Portanto, preciso calcular \displaystyle A^{n}q[0] e \displaystyle \sum_{m=0}^{n-1}A^{m}b, e então extrair o segundo componente.

Passo 3

Para facilitar, obtenho uma fórmula para \displaystyle A^{m}. Como \displaystyle A é triangular superior com elementos diagonais \displaystyle a=2 e \displaystyle d=5 e entrada superior direita \displaystyle c=-3, existe a fórmula
A^{m}=\begin{bmatrix}a^{m} & c\displaystyle\sum_{k=0}^{m-1}a^{m-1-k}d^{k}\\[6pt]0 & d^{m}\end{bmatrix}.
Aqui \displaystyle a=2, \displaystyle d=5, \displaystyle c=-3. A soma geométrica dentro dá
c\displaystyle\sum_{k=0}^{m-1}a^{m-1-k}d^{k}=c\frac{a^{m}-d^{m}}{a-d}.
Substituindo os valores:
\begin{aligned} a^{m}&=2^{m},\qquad d^{m}=5^{m},\qquad a-d=2-5=-3,\\[4pt] c\frac{a^{m}-d^{m}}{a-d}&=-3\cdot\frac{2^{m}-5^{m}}{-3}=2^{m}-5^{m}. \end{aligned}
Logo
A^{m}=\begin{bmatrix}2^{m} & 2^{m}-5^{m}\\[4pt]0 & 5^{m}\end{bmatrix}.]

Passo 4

Calculo \displaystyle A^{n}q[0]. Com \displaystyle q[0]=\begin{bmatrix}0\\[4pt]5\end{bmatrix} tem-se
A^{n}q[0]=\begin{bmatrix}2^{n} & 2^{n}-5^{n}\\[4pt]0 & 5^{n}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0\\[4pt]5\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}5\,(2^{n}-5^{n})\\[6pt]5^{n+1}\end{bmatrix}.
Portanto o segundo componente proveniente de \displaystyle A^{n}q[0] é \displaystyle 5^{n+1}.]

Passo 5

Calculo \displaystyle A^{m}b e a soma \displaystyle \sum_{m=0}^{n-1}A^{m}b.
Multiplicando:
A^{m}b=\begin{bmatrix}2^{m} & 2^{m}-5^{m}\\[4pt]0 & 5^{m}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\\[4pt]1\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}2^{m}+(2^{m}-5^{m})\\[6pt]5^{m}\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}2\cdot 2^{m}-5^{m}\\[6pt]5^{m}\end{bmatrix}.
Do que nos interessa (o segundo componente):
\text{segundo componente de }A^{m}b \;=\;5^{m}.
Agora somo \displaystyle \sum_{m=0}^{n-1}5^{m}, que é uma soma geométrica. Para \displaystyle r\neq1,
\sum_{m=0}^{n-1}r^{m}=\frac{1-r^{n}}{1-r}.
Com \displaystyle r=5 obtemos
\sum_{m=0}^{n-1}5^{m}=\frac{5^{n}-1}{5-1}=\frac{5^{n}-1}{4}.]

Passo 6

Reunindo as duas contribuições ao segundo componente de \displaystyle q[n]:
q_{2}[n]=\underbrace{5^{n+1}}_{\text{de }A^{n}q[0]}+\underbrace{\frac{5^{n}-1}{4}}_{\text{da soma }\sum_{m=0}^{n-1}5^{m}}.
Esta é uma forma correta da solução. Posso simplificar combinando termos em \displaystyle 5^{n}:
q_{2}[n]=5^{n+1}+\frac{5^{n}-1}{4}.

Resposta

y[n]=q_{2}[n]=\frac{21}{4}\,5^{n}-\frac{1}{4},\qquad n\ge0

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