Encontre o resto da divisĂŁo de
5!cdot 25! por 31

Passo 1

Resumindo: precisamos achar o resto da divisão de 5!cdot25! por 31, isto é, calcular
5!cdot25!bmod31
Vamos usar aritmética modular e o Teorema de Wilson para fatoriais em primos.

Passo 2

O Teorema de Wilson diz que, para primo p,
(p-1)!equiv -1pmod p
Aqui p=31, logo
30!equiv -1pmod31

Passo 3

Podemos escrever
30! = 25!times(26cdot27cdot28cdot29cdot30)
e portanto
25!equiv 30!timesl(26cdot27cdot28cdot29cdot30r)^-1pmod31

Passo 4

Vamos calcular
D=26cdot27cdot28cdot29cdot30pmod31
Notando 26equiv -5, 27equiv -4, 28equiv -3, 29equiv -2, 30equiv -1, temos
D=(-5)(-4)(-3)(-2)(-1)equiv4pmod31

Passo 5

Como Dequiv4, seu inverso módulo 31 é 4^-1equiv8 (pois 4cdot8=32equiv1pmod31). Logo
25!equiv(-1)times8equiv-8equiv23pmod31

Passo 6

Agora calculamos 5! e multiplicamos:
5!=1cdot2cdot3cdot4cdot5=120equiv27pmod31,
logo
5!cdot25!equiv27cdot23=621equiv1pmod31

Resposta

O resto da divisão de 5!cdot25! por 31 é 1.

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