Seja um inteiro positivo, com algarismo da unidade , com algarismo das decenas , com algarismo das centenas ou seja .
Consideremos . Mostre que

Passo 1

O enunciado define um inteiro positivo N escrito em base decimal como
N=anan-1cdots a2a1
onde a1 é o algarismo das unidades, a2 o das dezenas etc., e define o valor
A = a1 - a2 + a3 - a4 + cdots + (-1)^,n-1an
Queremos mostrar que
N equiv A pmod11
O conteúdo principal usado será aritmética modular e a propriedade de que 10equiv -1pmod11.

Passo 2

Escrevemos N em forma de soma de potências de 10, ponderadas pelos dígitos:
N ;=;sumi=1^n ai,10^,i-1

Passo 3

Como 10equiv -1pmod11, elevando ambos os lados à potência i-1 obtemos
10^,i-1equiv(-1)^,i-1pmod11

Passo 4

Substituindo na soma de N e usando linearidade da congruência, vem
N equiv sumi=1^nai,(-1)^,i-1 =;a1-a2+a3-a4+cdots+(-1)^,n-1an ;=;A pmod11

Resposta

N equiv A pmod11

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