Encontre os restos das seguintes divisōes:
4^{100} por 3.

Passo 1

O enunciado pede o resto da divisão de 4^{100} por 3.
Informações dadas:
  • base: 4;
  • expoente: 100;
  • divisor: 3.
    O que queremos: o inteiro r tal que 0 \le r < 3 e existe um inteiro q com 4^{100}=3q+r.

Passo 2

Conceito útil (explicação curta e prática): dizer que dois inteiros a e b são congruentes módulo m significa que a-b é múltiplo de m. Escreve-se a \equiv b \pmod{m}.
Propriedade que vamos usar: se a \equiv b \pmod{m}, então para qualquer inteiro k\ge 1 vale a^{k} \equiv b^{k} \pmod{m}. Isso ocorre porque multiplicar congruências mantém a propriedade de diferença ser múltiplo de m.

Passo 3

Calcular o resto de 4 por 3:
4 = 3\cdot 1 + 1, portanto
4 \equiv 1 \pmod{3}.

Passo 4

Aplicar a propriedade de potências à congruência encontrada: como 4 \equiv 1 \pmod{3}, para o expoente 100 temos
4^{100} \equiv 1^{100} \pmod{3}.
E 1^{100}=1, então
4^{100} \equiv 1 \pmod{3}.

Passo 5

Interpretação final: a congruência 4^{100} \equiv 1 \pmod{3} diz que 4^{100} deixa resto 1 quando dividido por 3. (Como verificação rápida, os restos possíveis são 0,1,2 e o representante 1 é o correto.)

Resposta

1

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