Encontre todos os inteiros
que satisfazem
Passo 1
O enunciado pede: encontrar todos os inteiros
que satisfazem a congruência
Informações dadas:
- Coeficiente do
é . - Módulo é
. - Termo independente é
.
A pergunta é: quais são todos os inteirosque tornam verdadeira essa congruência?
Passo 2
O que significa a congruência
?
- Por definição,
significa que divide , isto é, existe um inteiro tal que . - Aplicando isso aqui,
equivale a dizer que existe um inteiro tal que
Essa é uma equação linear em inteiros (uma equação diofantina) equivalente à congruência.
Passo 3
Condição de existência e unicidade módulo:
- Para a congruência
existir solução é necessário e suficiente que divida . - Calcule
. Como e , segue que . - Como
divide , há soluções, e como o gcd é a solução é única módulo (ou seja, todas as soluções são congruentes entre si módulo ).
Passo 4
Encontrar o inverso multiplicativo de
módulo
:
- Quando
, existe um inverso tal que . - Aqui procuramos
tal que . - Testando pequenos valores (ou usando o algoritmo de Euclides estendido), vemos que
. - Logo o inverso de
módulo é ; isto é, .
Passo 5
Multiplicar a congruência pelo inverso para isolar
:
- Como
é invertível módulo , podemos multiplicar ambos os lados da congruência por e obter
- Substituindo
temos
- Calculando o produto,
Passo 6
Escrever a solução geral e verificar:
- A forma geral das soluções é
- Verificação rápida: substituindo
em dá
que é múltiplo de
. Portanto a congruência fica satisfeita para todo
.
- Observação final: como o gcd foi
, realmente não há outra classe de restos modulo ; a única solução de restos é .