Encontre todos os inteiros x que satisfazem
3 x \equiv 2 \bmod 8

Passo 1

O enunciado pede: encontrar todos os inteiros x que satisfazem a congruência
3x \equiv 2 \pmod{8}.
Informações dadas:
  • Coeficiente do x é 3.
  • Módulo é 8.
  • Termo independente é 2.
    A pergunta é: quais são todos os inteiros x que tornam verdadeira essa congruência?

Passo 2

O que significa a congruência \,3x \equiv 2 \pmod{8}?
  • Por definição, \,a \equiv b \pmod{n} significa que n divide a-b, isto é, existe um inteiro k tal que a-b = nk.
  • Aplicando isso aqui, \,3x \equiv 2 \pmod{8} equivale a dizer que existe um inteiro k tal que
3x - 2 = 8k.
Essa é uma equação linear em inteiros (uma equação diofantina) equivalente à congruência.

Passo 3

Condição de existência e unicidade módulo:
  • Para a congruência \,ax \equiv b \pmod{n} existir solução é necessário e suficiente que \gcd(a,n) divida b.
  • Calcule \gcd(3,8). Como 8=2\cdot3+2 e 3=1\cdot2+1, segue que \gcd(3,8)=1.
  • Como 1 divide 2, há soluções, e como o gcd é 1 a solução é única módulo 8 (ou seja, todas as soluções são congruentes entre si módulo 8).

Passo 4

Encontrar o inverso multiplicativo de 3 módulo 8:
  • Quando \gcd(a,n)=1, existe um inverso a^{-1} tal que a\cdot a^{-1}\equiv 1 \pmod{n}.
  • Aqui procuramos y tal que 3y \equiv 1 \pmod{8}.
  • Testando pequenos valores (ou usando o algoritmo de Euclides estendido), vemos que 3\cdot 3 = 9 \equiv 1 \pmod{8}.
  • Logo o inverso de 3 módulo 8 é 3; isto é, 3^{-1}\equiv 3 \pmod{8}.

Passo 5

Multiplicar a congruência pelo inverso para isolar x:
  • Como 3 é invertível módulo 8, podemos multiplicar ambos os lados da congruência por 3^{-1} e obter
x \equiv 3^{-1}\cdot 2 \pmod{8}.
  • Substituindo 3^{-1}\equiv 3 temos
x \equiv 3\cdot 2 \pmod{8}.
  • Calculando o produto,
x \equiv 6 \pmod{8}.

Passo 6

Escrever a solução geral e verificar:
  • A forma geral das soluções é
x = 6 + 8k,\qquad k\in\mathbb{Z}.
  • Verificação rápida: substituindo x=6+8k em 3x-2
3(6+8k)-2 = 18+24k-2 = 16+24k = 8(2+3k),
que é múltiplo de 8. Portanto a congruência fica satisfeita para todo k\in\mathbb{Z}.
  • Observação final: como o gcd foi 1, realmente não há outra classe de restos modulo 8; a única solução de restos é x\equiv 6\pmod{8}.

Resposta

x \equiv 6 \pmod{8}
x = 6 + 8k,\\ k\in\mathbb{Z}

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