Encontre o resultado para cada uma das expressões algébricas
\frac{\frac{a-2}{a b^{2}}}{\frac{(a-b)^{2}}{a b}}=

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão
\frac{\dfrac{a-2}{a b^{2}}}{\dfrac{(a-b)^{2}}{a b}}.
Informações/condições que temos (implicadas pelos denominadores):
  • Os denominadores não podem ser zero, logo \;a\neq0\; e \;b\neq0\;.
  • Além disso, como aparece (a-b)^{2} no denominador da fração do denominador, devemos ter \;a\neq b\; para que a expressão esteja definida.
    O objetivo é obter uma forma mais simples da expressão, fazendo cancelamentos válidos (somente quando os fatores cancelados forem diferentes de zero).

Passo 2

Regra importante: dividir por uma fração é o mesmo que multiplicar pelo recíproco dessa fração. Em forma geral:
\frac{\dfrac{p}{q}}{\dfrac{r}{s}}=\frac{p}{q}\cdot\frac{s}{r},
desde que q\neq0, r\neq0 e s\neq0. Essa regra vem de reescrever
\frac{p/q}{r/s}=\frac{p}{q}\cdot\frac{s}{r},
pois multiplicar por \dfrac{s}{r} cancela o \dfrac{r}{s}.

Passo 3

Aplicando a regra ao nosso caso:
\frac{\dfrac{a-2}{a b^{2}}}{\dfrac{(a-b)^{2}}{a b}} = \frac{a-2}{a b^{2}}\cdot\frac{a b}{(a-b)^{2}}.

Passo 4

Agora multiplicamos numerador por numerador e denominador por denominador:
\frac{a-2}{a b^{2}}\cdot\frac{a b}{(a-b)^{2}} = \frac{(a-2)\cdot a b}{a b^{2}\cdot (a-b)^{2}}.

Passo 5

Fazemos cancelamentos de fatores comuns (lembrando que \;a\neq0\; e \;b\neq0\;, então é permitido):
  • Cancelando o fator a no numerador com o a no denominador:
\frac{(a-2)\cdot \cancel{a}\, b}{\cancel{a}\, b^{2}\cdot (a-b)^{2}} = \frac{(a-2)\, b}{b^{2}\cdot (a-b)^{2}}.
  • Agora cancelando um fator b do numerador com um de b^{2} no denominador:
\frac{(a-2)\, \cancel{b}}{\cancel{b}\, b\cdot (a-b)^{2}} = \frac{a-2}{b\cdot (a-b)^{2}}.

Passo 6

Portanto a expressão simplificada é
\frac{a-2}{b\,(a-b)^{2}},
válida para \;a\neq0, \;b\neq0 e \;a\neq b.
Para conferir rapidamente, um exemplo numérico: com a=4 e b=2 (válidos),
a expressão original dá \dfrac{1/8}{1/2}=1/4 e a forma simplificada dá \dfrac{2}{2\cdot4}=1/4, bate certinho.

Resposta

\dfrac{a-2}{b\,(a-b)^{2}}

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