Encontre o resultado para cada uma das expressões algébricas
\frac{x}{x+1} \cdot \frac{2 x+2}{3 x y}=

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão
\frac{x}{x+1}\cdot\frac{2x+2}{3xy}.
Informações dadas:
  • As variáveis são x e y.
  • Devem ser observadas as restrições naturais de denominador: x+1\neq0, 3xy\neq0. Ou seja, x\neq-1, x\neq0 ou y\neq0 (mais adiante vamos organizar isso direitinho).

Passo 2

Fatorar termos para ver cancelamentos possíveis. Note que 2x+2 tem fator comum 2. Ao fatorar:
2x+2 = 2(x+1).
Dica rápida: fatorar significa tirar o maior fator comum entre os termos; aqui ambos os termos têm um 2, por isso sobra x+1.

Passo 3

Reescrever a expressão usando a fatoração obtida:
\frac{x}{x+1}\cdot\frac{2(x+1)}{3xy}.
Agora observe que aparecem fatores iguais no numerador e denominador:
  • O fator (x+1) está no numerador de uma fração e no denominador da outra: pode ser cancelado.
  • O fator x aparece no numerador da primeira fração e no denominador da segunda: também pode ser cancelado.
    Lembrete sobre cancelamento: podemos simplificar um fator comum entre numerador e denominador dividindo ambos por esse fator, desde que o fator não seja zero.
Fazendo os cancelamentos (mostrando passo a passo):
\frac{\cancel{x}}{\cancel{x+1}}\cdot\frac{2\cancel{(x+1)}}{3\cancel{x}y} \;=\; \frac{2}{3y}.

Passo 4

Verificação e observações sobre domínio. A expressão simplificada é
\frac{2}{3y}.
Porém é importante registrar os valores proibidos que vinham da expressão original: não podemos ter x+1=0, x=0 ou y=0. Portanto as restrições são
x\neq -1,\qquad x\neq 0,\qquad y\neq 0.
Para qualquer par (x,y) que respeite essas restrições, a igualdade entre a expressão original e \dfrac{2}{3y} vale.

Passo 5

Checagem numérica rápida para ganhar confiança. Tomando, por exemplo, x=2 e y=1 (esses valores respeitam as restrições):
  • Avaliando a expressão original:
\frac{2}{2+1}\cdot\frac{2\cdot2+2}{3\cdot2\cdot1}=\frac{2}{3}\cdot\frac{6}{6}=\frac{2}{3}.
  • Avaliando a expressão simplificada:
\frac{2}{3\cdot1}=\frac{2}{3}.
Concorda — ótimo, simplificação correta.

Resposta

\dfrac{2}{3y}

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