Encontre o resultado para cada uma das expressões algébricas
\frac{x^{2}+6 x}{x} \cdot \frac{x-6}{x^{2}+12 x+36}=

Passo 1

O enunciado pede calcular o valor da expressão
\frac{x^{2}+6x}{x}\cdot\frac{x-6}{x^{2}+12x+36}.
Informações dadas:
  • Numeradores: \,x^{2}+6x e \,x-6.
  • Denominadores: \,x e \,x^{2}+12x+36.
  • O objetivo é simplificar a expressão algébrica (fazer fatorações e cancelamentos válidos).

Passo 2

Antes de manipular, identificamos valores de x que tornam algum denominador zero (esses valores não podem ser usados porque não podemos dividir por zero).
  • Do denominador x vem que x\neq 0.
  • Do denominador x^{2}+12x+36 vamos achar as raízes para ver se há mais restrições. Calculamos ou reconhecemos que é um trinômio quadrado perfeito:
x^{2}+12x+36=(x+6)^{2},
cuja raiz é x=-6. Logo x\neq -6.
Portanto domínio: x\neq 0 e x\neq -6.

Passo 3

Fatorar x^{2}+6x pelo fator comum:
  • Observa-se que x^{2}+6x tem x em comum, então
x^{2}+6x = x(x+6).
Explicação didática: quando dois termos têm um fator comum (aqui x), coloca-se esse fator em evidência. Exemplo rápido: 3x^2+3x=3x(x+1).

Passo 4

Fatorar x^{2}+12x+36 reconhecendo trinômio quadrado perfeito:
  • Um quadrado perfeito tem forma (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}. Aqui a=x e b=6 porque 2ab=2\cdot x\cdot 6=12x e b^{2}=36. Portanto
x^{2}+12x+36=(x+6)^{2}.
Se não lembrar desse padrão, pode-se usar fórmula de delta ou completar quadrado; aqui é imediato porque 36 é 6^{2} e 12 é 2\cdot6.

Passo 5

Reescrever a expressão usando as fatorações encontradas:
\frac{x^{2}+6x}{x}\cdot\frac{x-6}{x^{2}+12x+36} = \frac{x(x+6)}{x}\cdot\frac{x-6}{(x+6)^{2}}.

Passo 6

Cancelar fatores comuns (lembrando das restrições de domínio):
  • Do primeiro quociente \dfrac{x(x+6)}{x} podemos cancelar x, desde que x\neq 0, ficando x+6.
  • A expressão total então fica
(x+6)\cdot\frac{x-6}{(x+6)^{2}}.
  • Agora há um fator (x+6) no numerador e (x+6)^{2} no denominador; podemos cancelar um dos fatores (x+6), desde que x\neq -6.
    Após cancelar um (x+6) obtemos
\frac{x-6}{x+6}.

Passo 7

Interpretação final e observação importante: a simplificação algébrica dá \dfrac{x-6}{x+6}, mas esse resultado vale somente para valores de x que não anulem os denominadores originais. Ou seja, as restrições anteriores mantêm-se: x\neq 0 e x\neq -6. (Essas restrições impedem cancelamentos inválidos por divisão por zero.)

Resposta

\dfrac{x-6}{x+6},\\ \text{com }x\neq 0,\\ x\neq -6

Exercícios relacionados