Encontre o resultado das integrais abaixo:
Calcule \int \sqrt{1-x^{2}} d x.
Calcule \int_{0}^{1} \sqrt{1-x^{2}} d x.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  1. Calcular a integral indefinida \displaystyle \int \sqrt{1-x^{2}}\,dx.
  2. Calcular a integral definida \displaystyle \int_{0}^{1} \sqrt{1-x^{2}}\,dx.
Informações dadas (ou óbvias do enunciado):
\;x é a variável de integração.
A função integranda é \sqrt{1-x^{2}}, definida (no contexto real) para -1\le x\le 1.
Para a integral definida os limites são \,0 (inferior) e \,1 (superior).

Passo 2

Ideia de transformação (aula curta sobre substituição trigonométrica):
Quando aparece uma raiz do tipo \sqrt{a^{2}-x^{2}} é muito comum usar a substituição trigonométrica
x = a\sin t,
porque então
\sqrt{a^{2}-x^{2}} = \sqrt{a^{2}-a^{2}\sin^{2}t} = a\cos t,
simplificando bastante a raiz. No nosso caso a=1, então a substituição natural é
x = \sin t.
Explico cada peça:
  • t é uma nova variável (ângulo).
  • Derivando ambos os lados obtemos dx = \cos t\,dt.
  • A raiz vira \sqrt{1-x^{2}}=\cos t (aqui escolhemos o ramo com \cos t\ge0, isto é, t\in\bigl[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\bigr], que cobre a imagem de \sin t entre -1 e 1).
Agora aplicamos essa substituição na integral indefinida.

Passo 3

Aplicando x=\sin t em \displaystyle \int \sqrt{1-x^{2}}\,dx:
Substituímos \sqrt{1-x^{2}}=\cos t e dx=\cos t\,dt, logo a integral transforma-se em
\int \sqrt{1-x^{2}}\,dx = \int \cos t\cdot (\cos t\,dt) = \int \cos^{2}t\,dt.
Agora precisamos calcular \displaystyle \int \cos^{2}t\,dt. Para isso usamos a identidade trigonométrica (fórmula de redução)
\cos^{2}t = \frac{1+\cos(2t)}{2}.
Essa identidade vem da fórmula de cosseno duplo \cos(2t)=2\cos^{2}t-1, rearranjando obtemos a expressão acima. Então
\int \cos^{2}t\,dt = \int \frac{1+\cos(2t)}{2}\,dt = \frac{1}{2}\int 1\,dt + \frac{1}{2}\int \cos(2t)\,dt.
Calcule as duas integrais:
\frac{1}{2}\int 1\,dt = \frac{t}{2},
\frac{1}{2}\int \cos(2t)\,dt = \frac{1}{2}\cdot \frac{\sin(2t)}{2} = \frac{\sin(2t)}{4}.
Somando,
\int \cos^{2}t\,dt = \frac{t}{2} + \frac{\sin(2t)}{4} + C.

Passo 4

Volta para a variável x (desfazendo a substituição) e simplificação:
Temos \sin t = x, então t = \arcsin x. Além disso \sin(2t) = 2\sin t\cos t = 2x\cos t. Lembre que \cos t=\sqrt{1-\sin^{2}t}=\sqrt{1-x^{2}}. Substituindo tudo:
\frac{t}{2} + \frac{\sin(2t)}{4} + C = \frac{1}{2}\arcsin x + \frac{1}{4}\cdot 2x\sqrt{1-x^{2}} + C.
Isso simplifica para
\boxed{\displaystyle \int \sqrt{1-x^{2}}\,dx = \frac{1}{2}x\sqrt{1-x^{2}} + \frac{1}{2}\arcsin x + C.}
Você pode reescrever como \displaystyle \frac{1}{2}\bigl(x\sqrt{1-x^{2}}+\arcsin x\bigr)+C. É sempre bom checar derivando: derivando essa expressão recuperamos \sqrt{1-x^{2}} (essa verificação é um exercício rápido que você pode fazer na prova se tiver tempo).

Passo 5

Agora a integral definida \displaystyle \int_{0}^{1} \sqrt{1-x^{2}}\,dx usando o antiderivado que acabamos de achar:
Seja F(x)=\displaystyle \frac{1}{2}x\sqrt{1-x^{2}} + \frac{1}{2}\arcsin x. Então
\int_{0}^{1} \sqrt{1-x^{2}}\,dx = F(1)-F(0).
Calcule F(1):
\sqrt{1-1^{2}}=0 e \arcsin 1=\tfrac{\pi}{2}, assim
F(1)=\frac{1}{2}\cdot 1\cdot 0 + \frac{1}{2}\cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{4}.
Calcule F(0):
\sqrt{1-0^{2}}=1 e \arcsin 0=0, assim
F(0)=\frac{1}{2}\cdot 0\cdot 1 + \frac{1}{2}\cdot 0 = 0.
Logo
\int_{0}^{1} \sqrt{1-x^{2}}\,dx = \frac{\pi}{4}.

Passo 6

Interpretação geométrica (cheque mental rápido e motivador):
A função y=\sqrt{1-x^{2}} é a semicircunferência superior de raio 1 centrada na origem. A integral de 0 a 1 corresponde à área do quarto de círculo de raio 1, que é \tfrac{1}{4}\pi(1)^{2}=\tfrac{\pi}{4}. Bom sinal de que o resultado está coerente.

Resposta

\displaystyle \int \sqrt{1-x^{2}}\,dx = \frac{1}{2}x\sqrt{1-x^{2}} + \frac{1}{2}\arcsin x + C.\n
\displaystyle \int_{0}^{1} \sqrt{1-x^{2}}\,dx = \frac{\pi}{4}.

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