Encontre o resultado das integrais abaixo:
Calcule
.
Calcule
.
Calcule
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras:
- Calcular a integral indefinida
. - Calcular a integral definida
.
Informações dadas (ou óbvias do enunciado):
é a variável de integração.
A função integranda é , definida (no contexto real) para
.
Para a integral definida os limites são (inferior) e
(superior).
A função integranda é
Para a integral definida os limites são
Passo 2
Ideia de transformação (aula curta sobre substituição trigonométrica):
Quando aparece uma raiz do tipo é muito comum usar a substituição trigonométrica
Quando aparece uma raiz do tipo
porque então
simplificando bastante a raiz. No nosso caso
, então a substituição natural é
Explico cada peça:
-
é uma nova variável (ângulo). - Derivando ambos os lados obtemos
. - A raiz vira
(aqui escolhemos o ramo com , isto é, , que cobre a imagem de entre e ).
Agora aplicamos essa substituição na integral indefinida.
Passo 3
Aplicando
em
:
Substituímos e
, logo a integral transforma-se em
Substituímos
Agora precisamos calcular
. Para isso usamos a identidade trigonométrica (fórmula de redução)
Essa identidade vem da fórmula de cosseno duplo
, rearranjando obtemos a expressão acima. Então
Calcule as duas integrais:
Somando,
Passo 4
Volta para a variável
(desfazendo a substituição) e simplificação:
Temos , então
. Além disso
. Lembre que
. Substituindo tudo:
Temos
Isso simplifica para
Você pode reescrever como
. É sempre bom checar derivando: derivando essa expressão recuperamos
(essa verificação é um exercício rápido que você pode fazer na prova se tiver tempo).
Passo 5
Agora a integral definida
usando o antiderivado que acabamos de achar:
Seja . Então
Seja
Calcule
:
e
, assim
Calcule
:
e
, assim
Logo
Passo 6
Interpretação geométrica (cheque mental rápido e motivador):
A função é a semicircunferência superior de raio
centrada na origem. A integral de
a
corresponde à área do quarto de círculo de raio
, que é
. Bom sinal de que o resultado está coerente.
A função