Utilize este teorema para resolver os exercícios abaixo:
Calcule \int \frac{x+3}{x^{2}-3 x+2} d x.
Calcule \int \frac{x^{3}+2}{(x-1)^{2}} d x.
Calcule \int \frac{1}{\cos x} d x.

Passo 1

Você me pediu para calcular três integrais. Vou listar exatamente o que é pedido e os dados fornecidos para cada uma, sem resolver ainda:
  1. Calcular \displaystyle \int \frac{x+3}{x^{2}-3x+2}\,dx.
  2. Calcular \displaystyle \int \frac{x^{3}+2}{(x-1)^{2}}\,dx.
  3. Calcular \displaystyle \int \frac{1}{\cos x}\,dx.
Esses são os três problemas que vamos resolver passo a passo em sequência.

Passo 2

Vamos começar pelo primeiro integral \displaystyle \int \frac{x+3}{x^{2}-3x+2}\,dx.
Primeiro passo técnico: fatorar o denominador. Observe que
x^{2}-3x+2=(x-1)(x-2).
Quando o denominador é produto de fatores lineares distintos, a técnica mais prática é decompor a fração em frações parciais do tipo
\frac{x+3}{(x-1)(x-2)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x-2},
onde A e B são constantes a determinar.

Passo 3

Determinar A\) e \(B\). Igualando numeradores: \[x+3 = A(x-2)+B(x-1).
Expandindo o lado direito:
x+3 = (A+B)x + (-2A - B).
Comparando coeficientes de x e termo constante obtemos o sistema
\begin{cases} A+B = 1,\\[4pt] -2A - B = 3. \end{cases}
Resolve-se substituindo B=1-A\] na segunda equação: \[-2A - (1-A) = 3 \quad\Rightarrow\quad -2A -1 + A = 3 \quad\Rightarrow\quad -A = 4 \quad\Rightarrow\quad A=-4.\] Então \(B=1-A=1-(-4)=5.
Portanto
\frac{x+3}{x^{2}-3x+2}=\frac{-4}{x-1}+\frac{5}{x-2}.]

Passo 4

Integrar termwise. Temos
\int \frac{x+3}{x^{2}-3x+2}\,dx=\int\left(\frac{-4}{x-1}+\frac{5}{x-2}\right)\,dx.
As integrais são logaritmos simples:
\int \frac{-4}{x-1}\,dx = -4\ln|x-1|,\qquad \int \frac{5}{x-2}\,dx = 5\ln|x-2|.
Somando e acrescentando a constante de integração C,
\int \frac{x+3}{x^{2}-3x+2}\,dx = -4\ln|x-1| + 5\ln|x-2| + C.

Passo 5

Agora o segundo integral \displaystyle \int \frac{x^{3}+2}{(x-1)^{2}}\,dx.
Aqui o integrando é uma fração racional cujo numerador tem grau maior ou igual ao denominador. Uma técnica prática é fazer a substituição u=x-1 (que centraliza o denominador) ou então dividir polinômios. Vou usar a substituição u=x-1 porque deixa os termos bem claros e é simples na prova.
Se u=x-1 então x=u+1 e du=dx. Reescrevendo o numerador:
x^{3}+2=(u+1)^{3}+2 = u^{3}+3u^{2}+3u+1+2 = u^{3}+3u^{2}+3u+3.
O denominador (x-1)^{2}=u^{2}. Portanto o integrando vira
\frac{x^{3}+2}{(x-1)^{2}} = \frac{u^{3}+3u^{2}+3u+3}{u^{2}} = u + 3 + \frac{3}{u} + \frac{3}{u^{2}}.
Agora integramos termo a termo em u (lembrando que du=dx):
\int \left(u + 3 + \frac{3}{u} + \frac{3}{u^{2}}\right) du.

Passo 6

Calcular cada integral simples:
\int u\,du = \frac{u^{2}}{2},\qquad \int 3\,du = 3u,\qquad \int \frac{3}{u}\,du = 3\ln|u|,\qquad \int \frac{3}{u^{2}}\,du = 3\int u^{-2}du = 3\left(-u^{-1}\right) = -\frac{3}{u}.
Somando tudo e substituindo u=x-1,
\int \frac{x^{3}+2}{(x-1)^{2}}\,dx = \frac{(x-1)^{2}}{2} + 3(x-1) + 3\ln|x-1| - \frac{3}{x-1} + C.
Se quiser, pode expandir os termos quadráticos, mas essa forma centrada em x-1 costuma ser mais compacta e clara em provas.

Passo 7

Finalmente o terceiro integral \displaystyle \int \frac{1}{\cos x}\,dx. Esse integrando é a função secante: \displaystyle \frac{1}{\cos x}=\operatorname{sec} x.
Existe uma técnica muito elegante e padrão para integrar \operatorname{sec} x: multiplicamos o integrando por \dfrac{\operatorname{sec} x + \tan x}{\operatorname{sec} x + \tan x} e usamos uma substituição. Vou mostrar passo a passo e explicar por que funciona.
Multiplicando,
\int \operatorname{sec} x\,dx = \int \frac{\operatorname{sec} x(\operatorname{sec} x+\tan x)}{\operatorname{sec} x+\tan x}\,dx = \int \frac{\operatorname{sec}^{2}x + \operatorname{sec} x\tan x}{\operatorname{sec} x+\tan x}\,dx.
Agora note que a derivada de \operatorname{sec} x+\tan x é
\frac{d}{dx}(\operatorname{sec} x + \tan x) = \operatorname{sec} x\tan x + \operatorname{sec}^{2}x,
que é exatamente o numerador da fração acima. Então fazemos a substituição
u=\operatorname{sec} x+\tan x \quad\Rightarrow\quad du=(\operatorname{sec}^{2}x+\operatorname{sec} x\tan x)\,dx.
Assim a integral fica
\int \frac{du}{u} = \ln|u| + C.
Voltando à variável x,
\int \operatorname{sec} x\,dx = \ln|\operatorname{sec} x + \tan x| + C.

Passo 8

Vamos checar rapidamente por derivação (é sempre bom confirmar): derivando \ln|\operatorname{sec} x + \tan x| pelo teorema da cadeia obtemos
\frac{1}{\operatorname{sec} x+\tan x}\cdot(\operatorname{sec} x\tan x + \operatorname{sec}^{2}x) = \operatorname{sec} x,
confirmando que a primitiva é correta.

Resposta

-4\ln|x-1| + 5\ln|x-2| + C
\dfrac{(x-1)^{2}}{2} + 3(x-1) + 3\ln|x-1| - \dfrac{3}{x-1} + C
\ln|\operatorname{sec} x + \tan x| + C

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