Utilize este teorema para resolver os exercícios abaixo:
Calcule
.
Calcule
.
Calcule
.
Passo 1
Você me pediu para calcular três integrais. Vou listar exatamente o que é pedido e os dados fornecidos para cada uma, sem resolver ainda:
- Calcular
. - Calcular
. - Calcular
.
Esses são os três problemas que vamos resolver passo a passo em sequência.
Passo 2
Vamos começar pelo primeiro integral
.
Primeiro passo técnico: fatorar o denominador. Observe que
Quando o denominador é produto de fatores lineares distintos, a técnica mais prática é decompor a fração em frações parciais do tipo
onde
e
são constantes a determinar.
Passo 3
Determinar
Expandindo o lado direito:
Comparando coeficientes de
e termo constante obtemos o sistema
Resolve-se substituindo
.
Portanto
Passo 4
Integrar termwise. Temos
As integrais são logaritmos simples:
Somando e acrescentando a constante de integração
,
Passo 5
Agora o segundo integral
.
Aqui o integrando é uma fração racional cujo numerador tem grau maior ou igual ao denominador. Uma técnica prática é fazer a substituição
(que centraliza o denominador) ou então dividir polinômios. Vou usar a substituição
porque deixa os termos bem claros e é simples na prova.
Se
então
e
. Reescrevendo o numerador:
O denominador
. Portanto o integrando vira
Agora integramos termo a termo em
(lembrando que
):
Passo 6
Calcular cada integral simples:
Somando tudo e substituindo
,
Se quiser, pode expandir os termos quadráticos, mas essa forma centrada em
costuma ser mais compacta e clara em provas.
Passo 7
Finalmente o terceiro integral
. Esse integrando é a função secante:
.
Existe uma técnica muito elegante e padrão para integrar
: multiplicamos o integrando por
e usamos uma substituição. Vou mostrar passo a passo e explicar por que funciona.
Multiplicando,
Agora note que a derivada de
é
que é exatamente o numerador da fração acima. Então fazemos a substituição
Assim a integral fica
Voltando à variável
,
Passo 8
Vamos checar rapidamente por derivação (é sempre bom confirmar): derivando
pelo teorema da cadeia obtemos
confirmando que a primitiva é correta.