Calcule
\int \frac{2}{3+2 x^{2}} d x

Passo 1

O problema pede para calcular a integral
\int \frac{2}{3+2 x^{2}}\,dx.
Informações dadas: a integranda é uma função racional simples, com numerador constante 2 e denominador 3+2x^{2}. Não há limites (é uma primitiva indefinida), então o resultado será uma família de funções com constante de integração C.

Passo 2

Primeiro passo algébrico simples: dividir numerador e denominador por 2 para deixar a expressão na forma padrão \dfrac{1}{x^{2}+a^{2}}. Fazendo isso:
\frac{2}{3+2x^{2}} = \frac{1}{\tfrac{3}{2}+x^{2}}.
Portanto
\int \frac{2}{3+2x^{2}}\,dx = \int \frac{1}{x^{2}+\tfrac{3}{2}}\,dx.

Passo 3

Agora usamos uma fórmula padrão de integrais que é muito útil e comum em provas. A fórmula é:
\int \frac{1}{x^{2}+a^{2}}\,dx = \frac{1}{a}\arctan\!\left(\frac{x}{a}\right)+C,
onde a>0 é uma constante. Explicando essa fórmula rapidamente: se colocamos u=\dfrac{x}{a}, então x=au e dx=a\,du. Substituindo na integral obtemos
\int \frac{1}{a^{2}u^{2}+a^{2}}a\,du = \int \frac{1}{a}\cdot\frac{1}{u^{2}+1}\,du = \frac{1}{a}\arctan(u)+C,
e voltando a x temos o resultado acima. Aqui a é a raiz quadrada de a^{2}, ou seja a distância em x onde aparece o termo quadrático.

Passo 4

Identificamos na nossa integral que
a^{2}=\tfrac{3}{2}\quad\Rightarrow\quad a=\sqrt{\tfrac{3}{2}}.
Aplicando a fórmula padrão:
\int \frac{1}{x^{2}+\tfrac{3}{2}}\,dx = \frac{1}{\sqrt{\tfrac{3}{2}}}\arctan\!\left(\frac{x}{\sqrt{\tfrac{3}{2}}}\right)+C.

Passo 5

Agora simplificamos as expressões com raízes para deixar a resposta mais bonita. Temos
\frac{1}{\sqrt{\tfrac{3}{2}}}=\sqrt{\tfrac{2}{3}}
e
\frac{x}{\sqrt{\tfrac{3}{2}}}=x\sqrt{\tfrac{2}{3}}.
Uma forma ainda mais “racionalizada” é notar que \sqrt{\tfrac{2}{3}}=\dfrac{\sqrt{6}}{3}. Assim uma escrita conveniente da primitiva é
\frac{\sqrt{6}}{3}\arctan\!\left(\frac{x\sqrt{6}}{3}\right)+C.

Passo 6

(Verificação rápida) Para ter confiança, derivamos a primitiva encontrada. Se F(x)=\dfrac{\sqrt{6}}{3}\arctan\!\big(\dfrac{x\sqrt{6}}{3}\big), então usando \dfrac{d}{dx}\arctan(u)=\dfrac{u'}{1+u^{2}} temos
F'(x)=\frac{\sqrt{6}}{3}\cdot\frac{\sqrt{6}/3}{1+\left(\dfrac{x\sqrt{6}}{3}\right)^{2}} = \frac{6}{9}\cdot\frac{1}{1+\dfrac{6x^{2}}{9}} = \frac{2}{3}\cdot\frac{1}{1+\dfrac{2x^{2}}{3}} = \frac{2}{3+\;2x^{2}},
que é exatamente a integranda. Bom sinal!

Resposta

\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{3}\arctan\!\left(\frac{x\sqrt{6}}{3}\right)+C

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