Seja
a curva parametrizada
, com
valor da integral
é:
Escolha uma opção:
6
0
Escolha uma opção:
6
0
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma curva $ C $ parametrizada por $ \vec{r}(t) = \left(\cos(2\pi t^{2}), t^{2} - t\right) $, onde $ t $ varia de 0 a 1. A gente precisa calcular a integral de linha:
Para resolver isso, vamos usar o cálculo de integrais de linha em curvas parametrizadas. Vamos precisar derivar $ x(t) $ e $ y(t) $ em relação a $ t $ e substituir na integral.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar $ x(t) $ e $ y(t) $:
Agora, vamos calcular as derivadas de $ x(t) $ e $ y(t) $ em relação a $ t $:
Passo 3
Agora, vamos substituir $ x(t) $, $ y(t) $, $ \frac{dx}{dt} $ e $ \frac{dy}{dt} $ na integral de linha. A integral se transforma em uma integral de $ t $ de 0 a 1:
Passo 4
Vamos simplificar os termos dentro da integral passo a passo.
Primeiro, calculamos $ 2y(t) - x(t) $:
Então, a primeira parte da integral fica:
A segunda parte da integral é:
Passo 5
Antes de tentar integrar tudo, vamos observar se a integral pode ser simplificada ou se algum termo se anula. Nesse caso, a integral parece bem complicada para ser resolvida diretamente, então vamos verificar se o campo vetorial é conservativo.
Para ser conservativo, precisamos que $ \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x} $, onde $ M = x(2y - x)e{x{2}} $ e $ N = \cos(y^{3}) + e{x{2}} $.
Calculando:
Como $ \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x} $, o campo é conservativo. Portanto, a integral depende apenas dos pontos inicial e final da curva.
Passo 6
Como o campo é conservativo, existe uma função potencial $ F(x, y) $ tal que $ dF = M dx + N dy $.
Vamos encontrar $ F(x, y) $:
Integrando $ M $ em relação a $ x $:
Derivando $ F $ em relação a $ y $ e igualando a $ N $:
Então,
Mas para a diferença $ F(1, y(1)) - F(0, y(0)) $, o termo $ g(y) $ se cancela.
Passo 7
Vamos calcular $ F(1, y(1)) - F(0, y(0)) $:
Primeiro, $ y(1) = 1^{2} - 1 = 0 $ e $ y(0) = 0^{2} - 0 = 0 $.
Então,
Resposta
A diferença $ F(1, 0) - F(0, 0) = 0 $. Portanto, o valor da integral é 0.