Encontre a reta tangente de
em
.
Passo 1
O enunciado pede: "Encontre a reta tangente de
em
". Os dados fornecidos são:
- Curva parametrizada
. - Ponto de tangência determinado por
.
Da função dada eu peguei explicitamente que as coordenadas de
são:
Passo 2
O que é a reta tangente a uma curva parametrizada?
Se é uma curva diferenciável e
é um valor do parâmetro, então:
Se
- O ponto de tangência é
. - Um vetor diretor da reta tangente é a derivada
(o vetor velocidade no instante ).
A equação vetorial da reta tangente, em parâmetro
, é
Aqui
é o parâmetro da reta (não confundir com
da curva). Esse é o procedimento padrão: calcular
e
e montar a reta.
Passo 3
Vou calcular a derivada
componente a componente. Primeiro recordando a regra do produto e derivadas trigonométricas:
- Regra do produto: se
então . -
e .
Aplicando isso às componentes de:
Derivada da primeira componente
:
Derivada da segunda componente
:
Derivada da terceira componente
:
Portanto a derivada vetorial é
Passo 4
Agora avalio
e
em
.
Ponto de tangência:
Ou seja, o ponto é a origem.
Vetor diretor (derivada no instante):
Passo 5
Montando a equação da reta tangente com
e vetor diretor
:
Forma paramétrica (parâmetro
):
Isto equivale às equações paramétricas
Também se pode escrever em forma simétrica (eliminando
):
que, pela presença do denominador zero para a componente
, é melhor expressa como as duas equações
Resposta
Forma paramétrica:
Forma cartesiana:
Forma cartesiana: