Encontre a reta tangente de α em α\left(t_{0}\right).
α(t)=t(\cos t, \operatorname{sen} t, 1), t_{0}=0;

Passo 1

O enunciado pede: "Encontre a reta tangente de \alpha em \alpha(t_{0})". Os dados fornecidos são:
  • Curva parametrizada \alpha(t)=t(\cos t,\;\operatorname{sen} t,\;1).
  • Ponto de tangência determinado por t_{0}=0.
Da função dada eu peguei explicitamente que as coordenadas de \alpha(t) são:
\alpha(t)=\bigl(t\cos t,\;t\sin t,\;t\bigr).

Passo 2

O que é a reta tangente a uma curva parametrizada?
Se \alpha(t) é uma curva diferenciável e t_{0} é um valor do parâmetro, então:
  • O ponto de tangência é \alpha(t_{0}).
  • Um vetor diretor da reta tangente é a derivada \alpha'(t_{0}) (o vetor velocidade no instante t_{0}).
A equação vetorial da reta tangente, em parâmetro s \in \mathbb{R}, é
r(s)=\alpha(t_{0})+s\,\alpha'(t_{0}).
Aqui s é o parâmetro da reta (não confundir com t da curva). Esse é o procedimento padrão: calcular \alpha(t_{0}) e \alpha'(t_{0}) e montar a reta.

Passo 3

Vou calcular a derivada \alpha'(t) componente a componente. Primeiro recordando a regra do produto e derivadas trigonométricas:
  • Regra do produto: se u(t)v(t) então \dfrac{d}{dt}[u(t)v(t)]=u'(t)v(t)+u(t)v'(t).
  • \dfrac{d}{dt}\cos t=-\sin t e \dfrac{d}{dt}\sin t=\cos t.
    Aplicando isso às componentes de \alpha(t)=\bigl(t\cos t,\;t\sin t,\;t\bigr):
Derivada da primeira componente t\cos t:
\frac{d}{dt}\bigl(t\cos t\bigr)=1\cdot\cos t + t\cdot(-\sin t)=\cos t - t\sin t.
Derivada da segunda componente t\sin t:
\frac{d}{dt}\bigl(t\sin t\bigr)=1\cdot\sin t + t\cdot\cos t=\sin t + t\cos t.
Derivada da terceira componente t:
\frac{d}{dt}(t)=1.
Portanto a derivada vetorial é
\alpha'(t)=\bigl(\cos t - t\sin t,\;\sin t + t\cos t,\;1\bigr).

Passo 4

Agora avalio \alpha(t) e \alpha'(t) em t_{0}=0.
Ponto de tangência:
\alpha(0)=\bigl(0\cdot\cos 0,\;0\cdot\sin 0,\;0\bigr)=(0,0,0).
Ou seja, o ponto é a origem.
Vetor diretor (derivada no instante):
\alpha'(0)=\bigl(\cos 0 - 0\cdot\sin 0,\;\sin 0 + 0\cdot\cos 0,\;1\bigr)=(1,0,1).

Passo 5

Montando a equação da reta tangente com \alpha(0)=(0,0,0) e vetor diretor (1,0,1):
Forma paramétrica (parâmetro s\in\mathbb{R}):
r(s)=(0,0,0)+s(1,0,1)=\bigl(s,\;0,\;s\bigr).
Isto equivale às equações paramétricas
x=s,\qquad y=0,\qquad z=s.
Também se pode escrever em forma simétrica (eliminando s):
\frac{x-0}{1}=\frac{y-0}{0}=\frac{z-0}{1},
que, pela presença do denominador zero para a componente y, é melhor expressa como as duas equações
y=0,\qquad x=z.

Resposta

Forma paramétrica: r(s)=\bigl(s,\;0,\;s\bigr),\\ s\in\mathbb{R}.
Forma cartesiana: y=0,\\ x=z.

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