Verifique se \alpha(t)=\left(t, \sqrt{8+2 t-t^{2}}, t+4\right),-2 \leq t \leq 4, é uma curva regular.

Passo 1

O enunciado dá a curva \alpha(t)=\left(t, \sqrt{8+2t-t^{2}}, t+4\right) definida no intervalo [-2,4] e pede para verificar se essa curva é regular.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função componente a componente é:
    • primeira componente: x(t)=t,
    • segunda componente: y(t)=\sqrt{8+2t-t^{2}},
    • terceira componente: z(t)=t+4.
  • O domínio indicado é t\in[-2,4].
  • O que precisa ser verificado: se a curva é regular (isto é, verificar diferenciação e se \alpha'(t)\neq 0).

Passo 2

Primeiro, vamos recordar de forma clara e simples o que significa “curva regular”.
Definição prática que vamos usar:
  • Dizemos que \alpha é regular em um ponto t se \alpha é diferenciável naquele ponto e \alpha'(t) não é o vetor nulo.
  • Para a curva ser regular em um conjunto (por exemplo no intervalo), é preciso que esses requisitos valham para todos os t desse conjunto.
    Explicando os termos:
  • “Diferenciável” significa que todas as componentes possuem derivada naquele ponto (ou derivadas laterais adequadas nos extremos, dependendo da convenção).
  • O vetor derivada \alpha'(t) é o vetor cujas entradas são as derivadas das componentes: \alpha'(t)=\big(x'(t),\,y'(t),\,z'(t)\big).
    No que segue vou calcular \alpha'(t) e verificar se ele é o vetor nulo em algum ponto do intervalo dado.

Passo 3

Antes de derivar a segunda componente, é útil simplificar o radicando para enxergar melhor o domínio e onde a raiz é zero. Fazendo álgebra:
8+2t-t^{2}=-(t^{2}-2t-8)=-( (t-1)^{2}-9 )=9-(t-1)^{2}.
Assim a segunda componente pode ser escrita como
y(t)=\sqrt{9-(t-1)^{2}}.
Isso mostra claramente quando o radicando é não negativo: \,9-(t-1)^{2}\ge 0 se, e só se, |t-1|\le 3, isto é t\in[-2,4]. Portanto o domínio dado [-2,4] é exatamente o intervalo onde a raiz é real, e nos extremos t=-2 e t=4 o radicando vale zero.

Passo 4

Agora calculamos as derivadas das componentes (usando regras básicas: derivada de t é 1, derivada de t+4 é 1; para a raiz usamos a regra da cadeia).
Seja u(t)=8+2t-t^{2}. Então y(t)=\sqrt{u(t)} e u'(t)=2-2t. Pela regra da cadeia,
y'(t)=\frac{u'(t)}{2\sqrt{u(t)}}=\frac{2-2t}{2\sqrt{8+2t-t^{2}}}=\frac{1-t}{\sqrt{8+2t-t^{2}}}.
Portanto a derivada da curva é
\alpha'(t)=\Big(1,\;\dfrac{1-t}{\sqrt{8+2t-t^{2}}},\;1\Big).
Aqui cada símbolo significa:
  • o primeiro componente 1 é x'(t),
  • a fração \dfrac{1-t}{\sqrt{8+2t-t^{2}}} é y'(t),
  • o último 1 é z'(t).

Passo 5

Verificamos agora se \alpha'(t) é o vetor nulo para algum t\in[-2,4] e se \alpha'(t) existe em todo o intervalo.
  1. Para t no interior do intervalo, isto é t\in(-2,4), o radicando 8+2t-t^{2}=9-(t-1)^{2} é estritamente positivo, então a expressão de y'(t) acima está bem definida (denominador não nulo). Logo \alpha'(t) existe para todo t\in(-2,4).
    Além disso, a primeira componente de \alpha'(t) é 1 para todo t, logo \alpha'(t) não pode ser o vetor nulo em nenhum ponto de (-2,4). Conclusão: para todo t\in(-2,4) temos \alpha'(t)\neq 0.
  2. Nos extremos t=-2 e t=4 temos 8+2t-t^{2}=0, portanto a fórmula para y'(t) dá divisão por zero. De fato, examinando o comportamento limite, próximo de um extremo o termo \sqrt{8+2t-t^{2}} se aproxima de zero como \sqrt{\text{const}\cdot |t-(-2)|}, de modo que y'(t) tende ao infinito (ou não existe como número finito). Assim a derivada clássica \alpha'(t) não existe (é indefinida ou divergente) em t=-2 e t=4. Portanto não se pode afirmar que \alpha seja diferenciável nesses extremos no sentido de derivada finita pelas duas direções.

Passo 6

Juntando as observações:
  • No interior do intervalo, \alpha é diferenciável e \alpha'(t)\neq 0 para todo t\in(-2,4). Assim \alpha é uma curva regular em (-2,4).
  • Nos pontos finais t=-2 e t=4 a derivada não existe como um vetor com entradas finitas (a segunda componente diverge), portanto \alpha não é diferenciável nesses pontos; por isso, se exigir regularidade em todo o intervalo fechado [-2,4], a curva não é regular (porque falta diferenciabilidade nos extremos).

Resposta

A curva não é regular em [-2,4] (a derivada não existe em t=-2 e t=4), mas é regular em (-2,4) (para todo t\in(-2,4) tem \alpha'(t)=\big(1,\frac{1-t}{\sqrt{8+2t-t^{2}}},1\big)\neq 0).

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