Verifique se
, é uma curva regular.
Passo 1
O enunciado dá a curva
definida no intervalo
e pede para verificar se essa curva é regular.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A função componente a componente é:
- primeira componente:
, - segunda componente:
, - terceira componente:
.
- primeira componente:
- O domínio indicado é
. - O que precisa ser verificado: se a curva é regular (isto é, verificar diferenciação e se
).
Passo 2
Primeiro, vamos recordar de forma clara e simples o que significa “curva regular”.
Definição prática que vamos usar:
Definição prática que vamos usar:
- Dizemos que
é regular em um ponto se é diferenciável naquele ponto e não é o vetor nulo. - Para a curva ser regular em um conjunto (por exemplo no intervalo), é preciso que esses requisitos valham para todos os
desse conjunto.
Explicando os termos: - “Diferenciável” significa que todas as componentes possuem derivada naquele ponto (ou derivadas laterais adequadas nos extremos, dependendo da convenção).
- O vetor derivada
é o vetor cujas entradas são as derivadas das componentes: .
No que segue vou calculare verificar se ele é o vetor nulo em algum ponto do intervalo dado.
Passo 3
Antes de derivar a segunda componente, é útil simplificar o radicando para enxergar melhor o domínio e onde a raiz é zero. Fazendo álgebra:
Assim a segunda componente pode ser escrita como
Isso mostra claramente quando o radicando é não negativo:
se, e só se,
, isto é
. Portanto o domínio dado
é exatamente o intervalo onde a raiz é real, e nos extremos
e
o radicando vale zero.
Passo 4
Agora calculamos as derivadas das componentes (usando regras básicas: derivada de
é
, derivada de
é
; para a raiz usamos a regra da cadeia).
Seja . Então
e
. Pela regra da cadeia,
Seja
Portanto a derivada da curva é
Aqui cada símbolo significa:
- o primeiro componente
é , - a fração
é , - o último
é .
Passo 5
Verificamos agora se
é o vetor nulo para algum
e se
existe em todo o intervalo.
-
Para
no interior do intervalo, isto é , o radicando é estritamente positivo, então a expressão de acima está bem definida (denominador não nulo). Logo existe para todo .
Além disso, a primeira componente deé para todo , logo não pode ser o vetor nulo em nenhum ponto de . Conclusão: para todo temos . -
Nos extremos
e temos , portanto a fórmula para dá divisão por zero. De fato, examinando o comportamento limite, próximo de um extremo o termo se aproxima de zero como , de modo que tende ao infinito (ou não existe como número finito). Assim a derivada clássica não existe (é indefinida ou divergente) em e . Portanto não se pode afirmar que seja diferenciável nesses extremos no sentido de derivada finita pelas duas direções.
Passo 6
Juntando as observações:
- No interior do intervalo,
é diferenciável e para todo . Assim é uma curva regular em . - Nos pontos finais
e a derivada não existe como um vetor com entradas finitas (a segunda componente diverge), portanto não é diferenciável nesses pontos; por isso, se exigir regularidade em todo o intervalo fechado , a curva não é regular (porque falta diferenciabilidade nos extremos).
Resposta
A curva não é regular em
(a derivada não existe em
e
), mas é regular em
(para todo
tem
).