Encontre a reta tangente à curva no ponto dado.
II. f(x)=(x+2 x^3)^4, a=-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a reta tangente à curva definida por $ f(x) = (x + 2x{3}){4} $ no ponto onde $ a = -1 $. Para isso, vamos usar conceitos de derivada para encontrar o coeficiente angular da reta tangente e a equação da reta para finalizar.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o ponto na curva onde $ x = -1 $. Isso significa que precisamos calcular $ f(-1) $:
x = -1
Calculando passo a passo:
f(-1)
Então, o ponto na curva é $ (-1, 81) $.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada de $ f(x) $, que nos dará a inclinação da reta tangente naquele ponto. A função é:
f(x)
Para derivar essa função, usamos a regra da cadeia. Se $ f(x) = [g(x)]^{n} $, então $ f’(x) = n[g(x)]^{n-1} \cdot g’(x) $.
Aplicando isso:
f(x) = (x + 2x^3)^4

Passo 4

Vamos calcular a derivada no ponto $ x = -1 $:
x = -1
Calculando passo a passo:
f'(-1) = 4((-1) + 2(-1)^3)^3 cdot (1 + 6(-1)^2)
Então, a inclinação da reta tangente é $ m = -756 $.

Passo 5

Agora que temos o ponto $ (-1, 81) $ e a inclinação $ m = -756 $, podemos usar a fórmula da reta tangente:
(-1, 81)
Substituindo os valores:
m = -756

Resposta

A reta tangente à curva no ponto $ x = -1 $ é:
x = -1

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