) Encontre a reta tangente à função f(x)=x^{3} \cdot e^{-x} no ponto x_{0}=0.

Passo 1

O enunciado pede a reta tangente à função f(x)=x^3e^{-x} no ponto x_0=0. Para isso, vamos (i) calcular f(0) para obter o ponto de tangência, (ii) achar f'(x) usando regra do produto, (iii) avaliar f'(0) para a inclinação, e por fim (iv) montar a reta usando
y = f(x_0) + f'(x_0)\,(x - x_0).

Passo 2

Avaliar f em x_0=0:
f(0)=0^3\cdot e^{0}=0.

Passo 3

Calcular f'(x). Seja u(x)=x^3 e v(x)=e^{-x}. Então
u'(x)=3x^2,\quad v'(x)=-e^{-x},
e pela regra do produto
f'(x)=u'v + uv' = 3x^2e^{-x} - x^3e^{-x} = e^{-x}(3x^2 - x^3).

Passo 4

Avaliar f' em x_0=0:
f'(0)=e^{0}\bigl(3\cdot0^2 - 0^3\bigr)=0.

Passo 5

Substituir em
y = f(0) + f'(0)\,(x-0)
obtendo
y = 0 + 0\cdot x = 0.

Resposta

A reta tangente é y=0.

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