Utilizando a fórmula da derivada do quociente calcule as seguintes derivadas:
f(x)=\frac{\operatorname{sen} x}{a^{x}}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\frac{\operatorname{sen} x}{a^{x}},
ou seja, vamos aplicar a regra do quociente, que diz que se u(x) e v(x) são diferenciáveis então
\Bigl(\frac{u}{v}\Bigr)'=\frac{u'\,v - u\,v'}{v^2}.
Também precisamos saber que
\displaystyle\frac{d}{dx}\sin x=\cos x
e
\displaystyle\frac{d}{dx}a^x=a^x\ln(a).

Passo 2

Definimos
u(x)=\operatorname{sen} x,\quad v(x)=a^x.
Logo, suas derivadas são
u'(x)=\cos x, \qquad v'(x)=a^x\ln(a).

Passo 3

Aplicando a regra do quociente:
f'(x) =\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^2} =\frac{\cos x\cdot a^x \;-\;\operatorname{sen} x\cdot a^x\ln(a)}{(a^x)^2}.

Passo 4

Fatorando a^x no numerador e lembrando que (a^x)^2=a^{2x}, temos
f'(x) =\frac{a^x\bigl(\cos x - \operatorname{sen} x\,\ln(a)\bigr)}{a^{2x}} =\frac{\cos x - \operatorname{sen} x\,\ln(a)}{a^x}.

Resposta

f'(x)=\frac{\cos x - \operatorname{sen} x\,\ln(a)}{a^x}.

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