Utilizando ao fórmula da derivada do produto calcule as seguintes derivadas:
f(x)=\left(x^{2}+1\right) \cdot\left(x^{3}+2 x\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de
f(x) = \bigl(x^{2}+1\bigr)\,\bigl(x^{3}+2x\bigr)
usando a regra do produto de funções. Esse conteúdo faz parte de derivadas de funções elementares e precisamos lembrar da fórmula
(uv)' = u'\,v + u\,v'.

Passo 2

Identificamos as duas funções envolvidas no produto:
u(x) = x^{2}+1
v(x) = x^{3}+2x
Agora calculamos as derivadas de cada uma:
u'(x) = 2x
v'(x) = 3x^{2}+2

Passo 3

Aplicando a regra do produto (uv)' = u'\,v + u\,v', obtemos
f'(x) = \bigl(2x\bigr)\,\bigl(x^{3}+2x\bigr) + \bigl(x^{2}+1\bigr)\,\bigl(3x^{2}+2\bigr).

Passo 4

Basta agora expandir e somar termos semelhantes:
2x\,(x^{3}+2x) = 2x^{4} + 4x^{2},
(x^{2}+1)\,(3x^{2}+2) = 3x^{4} + 5x^{2} + 2.
Somando os dois resultados:
f'(x) = \bigl(2x^{4} + 4x^{2}\bigr) + \bigl(3x^{4} + 5x^{2} + 2\bigr) = 5x^{4} + 9x^{2} + 2.

Resposta

f'(x) = 5x^{4} + 9x^{2} + 2.

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