Encontre a reta tangente ao gráfico da função f(x)=1raizx-1 que é paralela à
reta x+2 y+7=0.

Passo 1

Vamos resolver um problema de cálculo que envolve encontrar a reta tangente ao gráfico da função $ f(x) = \frac{1}{\sqrt{x-1}} $. O objetivo é determinar qual essa reta tangente deve ser para que seja paralela à reta dada pela equação $ x + 2y + 7 = 0 $. Para isso, vamos precisar entender conceitos de derivadas (para achar a inclinação da tangente) e propriedades de retas paralelas.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação da reta dada $ x + 2y + 7 = 0 $ na forma $ y = mx + b $, que facilita a identificação do coeficiente angular $ m $, que representa a inclinação da reta.

Passo 3

Resolvendo a equação $ x + 2y + 7 = 0 $ para $ y $:
x + 2y + 7 = 0
Assim, o coeficiente angular $ m $ dessa reta é $ -\frac{1}{2} $.

Passo 4

Agora, queremos que a reta tangente ao gráfico de $ f(x) = \frac{1}{\sqrt{x-1}} $ tenha a mesma inclinação, ou seja, $ m = -\frac{1}{2} $. Para encontrar essa inclinação na função, precisamos calcular a derivada de $ f(x) $.

Passo 5

Calculando a derivada de $ f(x) = \frac{1}{\sqrt{x-1}} $:
f(x) = 1raizx-1
Aplicando a regra do poder:
f(x) = (x - 1)^-12

Passo 6

Igualamos a derivada $ f’(x) $ à inclinação desejada $ -\frac{1}{2} $:
f'(x)
Simplificando:
-12

Passo 7

Resolvendo para $ x $:
x
(x - 1)^-3/2 = 1 implies (x - 1)^3/2 = 1 implies (x - 1) = 1^2/3 = 1

Passo 8

Com $ x = 2 $, encontramos o ponto na função:
x = 2
Portanto, o ponto de tangência é $ (2, 1) $.

Passo 9

Agora, usamos a forma ponto-inclinação da equação da reta para encontrar a equação da tangente. A fórmula é:
y - y1 = m(x - x1)
Onde $ m = -\frac{1}{2} $ e $ (x_1, y_1) = (2, 1) $.

Passo 10

Substituindo os valores:
y - 1 = -12(x - 2)
Simplificando:
y = -12x + 1 + 1 implies y = -12x + 2

Resposta

A reta tangente é $ y = -\frac{1}{2}x + 2 $.

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