Encontre a reta tangente ao gráfico da função
que é paralela à
reta
.
reta
Passo 1
Vamos resolver um problema de cálculo que envolve encontrar a reta tangente ao gráfico da função $ f(x) = \frac{1}{\sqrt{x-1}} $. O objetivo é determinar qual essa reta tangente deve ser para que seja paralela à reta dada pela equação $ x + 2y + 7 = 0 $. Para isso, vamos precisar entender conceitos de derivadas (para achar a inclinação da tangente) e propriedades de retas paralelas.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação da reta dada $ x + 2y + 7 = 0 $ na forma $ y = mx + b $, que facilita a identificação do coeficiente angular $ m $, que representa a inclinação da reta.
Passo 3
Resolvendo a equação $ x + 2y + 7 = 0 $ para $ y $:
Assim, o coeficiente angular $ m $ dessa reta é $ -\frac{1}{2} $.
Passo 4
Agora, queremos que a reta tangente ao gráfico de $ f(x) = \frac{1}{\sqrt{x-1}} $ tenha a mesma inclinação, ou seja, $ m = -\frac{1}{2} $. Para encontrar essa inclinação na função, precisamos calcular a derivada de $ f(x) $.
Passo 5
Calculando a derivada de $ f(x) = \frac{1}{\sqrt{x-1}} $:
Aplicando a regra do poder:
Passo 6
Igualamos a derivada $ f’(x) $ à inclinação desejada $ -\frac{1}{2} $:
Simplificando:
Passo 7
Resolvendo para $ x $:
Passo 8
Com $ x = 2 $, encontramos o ponto na função:
Portanto, o ponto de tangência é $ (2, 1) $.
Passo 9
Agora, usamos a forma ponto-inclinação da equação da reta para encontrar a equação da tangente. A fórmula é:
Onde $ m = -\frac{1}{2} $ e $ (x_1, y_1) = (2, 1) $.
Passo 10
Substituindo os valores:
Simplificando:
Resposta
A reta tangente é $ y = -\frac{1}{2}x + 2 $.