Encontre a reta tangente ao gráfico da função f(x)=\left\{\begin{array}{cc}x^{2} \ln |x|, & \text { se } x \neq 0 \\\\ 0, & \text { se } x=0,\end{array}\right. no ponto \operatorname{com} x=\sqrt{e}. Marque a opção correta.

Escolha uma opção:

a. A inclinação da reta tangente é m=2 \sqrt{e}.
b. A reta tangente intercepta o eixo y no intervalo \left[-4,-\frac{7}{2}\right].
c. A reta tangente intercepta o eixo y no intervalo \left[-\frac{11}{2},-5\right].
d. A inclinação da reta tangente é m=-\frac{1}{2} \sqrt{e}.
e. A inclinação da reta tangente é m=\sqrt{2 e}.

Passo 1

O enunciado pede a reta tangente ao gráfico de
f(x)=\begin{cases} x^{2}\ln|x|, & x\neq0,\\\\ 0, & x=0 \end{cases}
no ponto x_{0}=\sqrt{e}. Como \sqrt{e}>0, usamos f(x)=x^{2}\ln x. Para traçar a reta tangente precisamos de (i) f'(x_{0}) (inclinação) e (ii) o ponto \bigl(x_{0},f(x_{0})\bigr).

Passo 2

Calcular a derivada para x>0. Usando a regra do produto em f(x)=x^{2}\ln x:
f'(x) =\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr)\cdot\ln x +x^{2}\cdot\frac{d}{dx}(\ln x) =2x\ln x + x^{2}\cdot\frac{1}{x} =2x\ln x + x.

Passo 3

Avaliar em x_{0}=\sqrt{e}. Como \ln(\sqrt{e})=\tfrac12, temos
f'(\sqrt{e}) =2\sqrt{e}\cdot\frac12 + \sqrt{e} =\sqrt{e} + \sqrt{e} =2\sqrt{e}.
Logo a inclinação da reta tangente é m=2\sqrt{e}.

Passo 4

Entre as opções, somente a alternativa (a) afirma que
m=2\sqrt{e}.

Resposta

(a)

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