Encontre a reta tangente ao gráfico da função f(x)=\left\{\begin{array}{cc}x^{2} \ln |x|, & \text { se } x \neq 0 \\\\ 0, & \text { se } x=0,\end{array}\right. no ponto \operatorname{com} x=\sqrt{e}. Marque a opção correta.
Escolha uma opção:
a. A inclinação da reta tangente é m=2 \sqrt{e}.
b. A reta tangente intercepta o eixo y no intervalo \left[-4,-\frac{7}{2}\right].
c. A reta tangente intercepta o eixo y no intervalo \left[-\frac{11}{2},-5\right].
d. A inclinação da reta tangente é m=-\frac{1}{2} \sqrt{e}.
e. A inclinação da reta tangente é m=\sqrt{2 e}.
no ponto x_{0}=\sqrt{e}. Como \sqrt{e}>0, usamos f(x)=x^{2}\ln x. Para traçar a reta tangente precisamos de (i) f'(x_{0}) (inclinação) e (ii) o ponto \bigl(x_{0},f(x_{0})\bigr).
Passo 2
Calcular a derivada para x>0. Usando a regra do produto em f(x)=x^{2}\ln x:
f'(x) =\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr)\cdot\ln x +x^{2}\cdot\frac{d}{dx}(\ln x) =2x\ln x + x^{2}\cdot\frac{1}{x} =2x\ln x + x.
Passo 3
Avaliar em x_{0}=\sqrt{e}. Como \ln(\sqrt{e})=\tfrac12, temos