Examplo 3, Considere d_{n}=(-1)^{n} \cdot \frac{1}{n}
a) Determine os cinco primeiros termos
b) A sequência é convergente ? Justifique
c) Ela é monótona?

Passo 1

O enunciado define a sequência
d_{n}=(-1)^{n}\,\frac{1}{n}
e pede:
a) os cinco primeiros termos;
b) verificar se \{d_{n}\} é convergente e justificar;
c) analisar se \{d_{n}\} é monotônica.

Passo 2

Para achar os cinco primeiros termos basta pôr n=1,2,3,4,5:
d_{1}=(-1)^{1}\,\frac{1}{1}=-1,\quad d_{2}=(-1)^{2}\,\frac{1}{2}=+\tfrac{1}{2},\quad d_{3}=(-1)^{3}\,\frac{1}{3}=-\tfrac{1}{3},
d_{4}=(-1)^{4}\,\frac{1}{4}=+\tfrac{1}{4},\quad d_{5}=(-1)^{5}\,\frac{1}{5}=-\tfrac{1}{5}.

Passo 3

Para estudar a convergência note que \lim_{n\to\infty}1/n=0 e (-1)^{n} é sempre \pm1. Pelo Teorema do Confronto, como
-\frac{1}{n}\le(-1)^{n}\frac{1}{n}\le\frac{1}{n}
e ambos os limites dos lados vão a 0, segue
\lim_{n\to\infty}d_{n}=0.
Logo a sequência converge e seu limite é 0.

Passo 4

Para ser monotônica precisamos que ela seja sempre não decrescente ou não crescente. Mas dos valores
-1,\;\tfrac12,\;-\tfrac13,\;\tfrac14,\;-\tfrac15,\dots
vemos que d_{1}<d_{2} e depois d_{2}>d_{3}, e assim por diante: os termos sobem e descem alternadamente. Portanto não é monotônica.

Resposta

a) -1,\;\tfrac12,\;-\,\tfrac13,\;\tfrac14,\;-\,\tfrac15.
b) Converge a 0.
c) Não é monotônica.

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