Seja f(x)=\frac{\sqrt[3]{x}}{5 x+4} para todo x \neq \frac{-4}{5}. Considere as seguintes opções para f^{\prime}(x) :
A) f^{\prime}(x)=\frac{(5 x+4)(1 / 3) x^{-2 / 3}-5 x^{1 / 3}}{5 x+4}
B) f^{\prime}(x)=\frac{(5 x+4)(1 / 3) x^{-2 / 3}+5 x^{1 / 3}}{(5 x+4)^{2}}
C) f^{\prime}(x)=\frac{(5 x+4)(1 / 3) x^{-2 / 3}-5 x^{1 / 3}}{(5 x+4)^{2}}
D) f^{\prime}(x)=\frac{5 x^{1 / 3}-(5 x+4)(1 / 3) x^{-2 / 3}}{(5 x+4)^{2}}
E) f^{\prime}(x)=\frac{(1 / 3) x^{-2 / 3}}{5}
Podemos afirmar que está correta \square Já o valor de f^{\prime}(1) é \square

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)=\frac{x^{1/3}}{5x+4},
queremos encontrar f'(x) e depois avaliar em x=1. O conteúdo envolvido é a regra do quociente para derivadas.

Passo 2

Identificamos no quociente
u(x)=x^{1/3},\quad v(x)=5x+4.
Então
u'(x)=\frac{1}{3}x^{-2/3},\quad v'(x)=5.

Passo 3

Pela regra do quociente,
f'(x) =\frac{v(x)\,u'(x)-u(x)\,v'(x)}{\bigl(v(x)\bigr)^2} =\frac{(5x+4)\,\frac{1}{3}x^{-2/3}-x^{1/3}\cdot5}{(5x+4)^2}.

Passo 4

Comparando com as opções dadas, vemos que a expressão bate com a opção C.

Passo 5

Para calcular f'(1), substituímos x=1:
\text{numerador}=(5\cdot1+4)\cdot\frac{1}{3}\cdot1^{-2/3}-5\cdot1^{1/3} =9\cdot\frac{1}{3}-5=3-5=-2,
\text{denominador}=(5\cdot1+4)^2=9^2=81,
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f'(1)=-\frac{2}{81}.

Resposta

C -\displaystyle \frac{2}{81}

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