Resolva os limites a seguir se existirem:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que resolver o limite quando
se aproxima de 0 para a expressão
. O conteúdo que vamos usar aqui envolve limites, funções trigonométricas e algumas propriedades básicas dessas funções quando
está perto de zero.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar de uma regra bem útil: quando
é bem pequeno, ou seja, está perto de zero, a função seno e a tangente de um ângulo pequeno podem ser aproximadas assim:
Isso acontece porque, conforme
se aproxima de 0, o comportamento dessas funções fica praticamente linear.
Passo 3
Vamos aplicar essa aproximação na nossa expressão. Substituindo
por
e
por
, temos:
Os
no numerador e denominador se cancelam, ficando:
Passo 4
Antes de fechar, é bom verificar se essa aproximação faz sentido. Como
está indo para 0, as aproximações que usamos são válidas e nos dão um resultado confiável para o limite.
Resposta
O limite é
.