Encontre as retas que passam pelo ponto ( 2,7 ) e tangenciam o círculo de centro em ( 3,0 ) e raio 3.

Passo 1

Resumindo: queremos as retas que passam por (2,7) e tocam o círculo de centro (3,0) e raio 3. Esse problema usa geometria analítica: representamos a reta por uma inclinação m e impomos que a distância do centro do círculo até a reta seja igual a 3.

Passo 2

Seja m a inclinação da reta. Pela forma ponto-inclinação, temos
y - 7 = m,(x - 2)
Para aplicar a fórmula de distância de um ponto a uma reta, escrevemos em forma geral Ax + By + C = 0. Transformando:
y - 7 = m x - 2m ;Longrightarrow; m x - y + (7 - 2m) = 0
Logo A = m, B = -1 e C = 7 - 2m.

Passo 3

A distância do centro C(3,0) até essa reta é
l|Acdot3 + Bcdot0 + Cr|raizA^2 + B^2 = l|3m + (7 - 2m)r|raizm^2 + 1 = l|m + 7r|raizm^2 + 1
Para tangência, essa distância deve ser igual ao raio 3:
l|m + 7r|raizm^2 + 1 = 3

Passo 4

Elevando ambos os lados ao quadrado:
(m + 7)^2 = 9,(m^2 + 1) ;Longrightarrow; m^2 + 14m + 49 = 9m^2 + 9 ;Longrightarrow; 4m^2 - 7m - 20 = 0
Resolvendo a equação quadrática, obtemos
m = 7 pm raiz49 + 3208 = 7 pm raiz3698 = 7 pm 3raiz418

Passo 5

Substituindo cada valor de m na forma ponto-inclinação, as duas retas são
(i) y - 7 = 7 + 3raiz418,(x - 2), (ii) y - 7 = 7 - 3raiz418,(x - 2)

Resposta

y - 7 = 7 + 3raiz418,(x - 2) e y - 7 = 7 - 3raiz418,(x - 2)

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