Encontre s=\sum a_{n} para as séries abaixo:
\cos x+\cos ^{2} x+\cos ^{3} x+\cdots, onde x \neq n \pi e n inteiro.

Passo 1

O enunciado pede que calculemos a soma infinita s=\sum a_n da série
\cos x+\cos^{2}x+\cos^{3}x+\cdots,
com a condição x\neq n\pi para n inteiro. Informações relevantes dadas:
  • Os termos da série são a_n=\cos^{n}x, começando em n=1.
  • A série é infinita: somamos todos os termos até n\to\infty.
  • Há a restrição x\neq n\pi (ou seja, x não é múltiplo inteiro de \pi).

Passo 2

Identificação do tipo de série e do que cada símbolo significa. Observando os termos, vemos que:
  • O primeiro termo é a_1=\cos x.
  • Cada termo seguinte é obtido multiplicando o anterior por \cos x. Ou seja, a razão da progressão geométrica é r=\cos x.
Definição usada: uma série do tipo
\sum_{n=1}^{\infty} r^{n}=r+r^{2}+r^{3}+\cdots
é chamada série geométrica (com primeiro termo r e razão r). Para poder somar essa série precisamos lembrar a condição de convergência que vamos explicar a seguir.

Passo 3

Fórmula e derivação da soma parcial da série geométrica (aulas básicas). Considere a soma parcial até N:
S_{N}=\sum_{k=1}^{N} r^{k}=r+r^{2}+\cdots+r^{N}.
Multiplicando S_N por (1-r) e usando cancelamentos obtemos:
(1-r)S_{N}= (r+r^{2}+\cdots+r^{N})-(r^{2}+r^{3}+\cdots+r^{N+1})=r-r^{N+1}.
Assim, isolando S_N,
S_{N}=\frac{r-r^{N+1}}{1-r}=\frac{r(1-r^{N})}{1-r}.
Explicação das variáveis: r é a razão da série geométrica; N é o número de termos considerados na soma parcial; S_N é a soma desses N primeiros termos.

Passo 4

Passagem ao limite infinito (condição de convergência). Para obter a soma infinita, tomamos o limite N\to\infty em S_N. Se |r|<1, então r^{N+1}\to 0 quando N\to\infty. Portanto
\lim_{N\to\infty} S_{N}=\lim_{N\to\infty}\frac{r-r^{N+1}}{1-r}=\frac{r}{1-r}.
Conclusão geral: a série geométrica \sum_{n=1}^{\infty} r^{n} converge e tem soma
\sum_{n=1}^{\infty} r^{n}=\frac{r}{1-r},
desde que |r|<1. Se |r|\ge 1 a série não converge (por exemplo, r=1 dá soma infinita e r=-1 gera oscilação sem limite).

Passo 5

Aplicando ao nosso caso ( r=\cos x) e checando a condição sobre x. Aqui temos r=\cos x. A condição do enunciado x\neq n\pi garante que \cos x\neq \pm 1. Como \cos x sempre satisfaz -1\le \cos x\le 1, excluir os pontos x=n\pi implica que |\cos x|<1. Logo a condição de convergência |r|<1 está satisfeita para os x indicados no enunciado. Observações:
  • Se por acaso \cos x=0 (por exemplo x=\pi/2), a série vale 0+0+\cdots=0, que também é coberto pela fórmula abaixo.
  • Nos pontos excluídos x=n\pi temos \cos x=\pm 1 e a série não converge (para 1 diverge para infinito; para -1 oscila).

Passo 6

Substituindo r=\cos x na fórmula da soma, concluímos que, para x\neq n\pi,
s=\sum_{n=1}^{\infty}\cos^{n}x=\frac{\cos x}{1-\cos x}.
Como observação alternativa e útil em provas, podemos reescrever o denominador usando a identidade de meia-ângulo 1-\cos x=2\sin^{2}\!\left(\dfrac{x}{2}\right), obtendo
s=\frac{\cos x}{1-\cos x}=\frac{\cos x}{2\sin^{2}\!\left(\dfrac{x}{2}\right)},
caso queira uma forma que exponha o fator \sin.

Resposta

\displaystyle \frac{\cos x}{1-\cos x}

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