Encontre
para as séries abaixo:
, onde
e
inteiro.
Passo 1
O enunciado pede que calculemos a soma infinita
da série
com a condição
para
inteiro. Informações relevantes dadas:
- Os termos da série são
, começando em . - A série é infinita: somamos todos os termos até
. - Há a restrição
(ou seja, não é múltiplo inteiro de ).
Passo 2
Identificação do tipo de série e do que cada símbolo significa. Observando os termos, vemos que:
- O primeiro termo é
. - Cada termo seguinte é obtido multiplicando o anterior por
. Ou seja, a razão da progressão geométrica é .
Definição usada: uma série do tipo
é chamada série geométrica (com primeiro termo
e razão
). Para poder somar essa série precisamos lembrar a condição de convergência que vamos explicar a seguir.
Passo 3
Fórmula e derivação da soma parcial da série geométrica (aulas básicas). Considere a soma parcial até
:
Multiplicando
por
e usando cancelamentos obtemos:
Assim, isolando
,
Explicação das variáveis:
é a razão da série geométrica;
é o número de termos considerados na soma parcial;
é a soma desses
primeiros termos.
Passo 4
Passagem ao limite infinito (condição de convergência). Para obter a soma infinita, tomamos o limite
em
. Se
, então
quando
. Portanto
Conclusão geral: a série geométrica
converge e tem soma
desde que
. Se
a série não converge (por exemplo,
dá soma infinita e
gera oscilação sem limite).
Passo 5
Aplicando ao nosso caso (
) e checando a condição sobre
. Aqui temos
. A condição do enunciado
garante que
. Como
sempre satisfaz
, excluir os pontos
implica que
. Logo a condição de convergência
está satisfeita para os
indicados no enunciado. Observações:
- Se por acaso
(por exemplo ), a série vale , que também é coberto pela fórmula abaixo. - Nos pontos excluídos
temos e a série não converge (para diverge para infinito; para oscila).
Passo 6
Substituindo
na fórmula da soma, concluímos que, para
,
Como observação alternativa e útil em provas, podemos reescrever o denominador usando a identidade de meia-ângulo
, obtendo
caso queira uma forma que exponha o fator
.