Encontre
para as séries abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar
para a série
Informações dadas:
A pergunta implícita é se a série converge e, se convergisse, qual seria a soma
. Aqui precisamos determinar o comportamento da série (convergência ou divergência) e, em caso de divergência, explicar por que.
Passo 2
Lema útil (teste da condição necessária): se uma série
converge, então necessariamente
Explicação rápida e didática desse fato: se
converge para um limite
quando
, então a diferença entre dois somatórios consecutivos é
Como
e
, a diferença
deve tender a
. Logo, uma condição necessária para convergência é que os termos
vão a zero; se não vão a zero, a série diverge imediatamente. Esse é um teste muito simples e rápido que a gente sempre usa logo de cara.
Passo 3
Vamos analisar o comportamento do termo geral
. Observação direta e muito simples:
portanto, tomando a raiz
-ésima (função monótona para números positivos),
Como
, obtemos
Isto significa que cada termo da sequência
é maior que
, então claramente
não pode ser
. Pelo teste do Passo 2, a série não converge.
Passo 4
Uma conclusão imediata e forte a partir do Passo 3: para as somas parciais
vale
Como
quando
, segue que
. Ou seja, a série não só diverge, como diverge para
— a soma parcial cresce pelo menos linearmente com
.
Passo 5
(Complemento explicativo, opcional mas didático) Se quiser ver o comportamento exato do termo
quando
, podemos calcular o limite:
Tomando logaritmo:
Como
muito rápido,
e portanto
. Assim
e
Isso confirma que os termos não tendem a zero (tendem a
), reforçando a divergência. Note que os termos são sempre maiores que
e tendem para
por cima.