Encontre s=\sum a_{n} para as séries abaixo:
\sum_{n=1}^{\infty} \sqrt[n]{1+7^{n}}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar s=\sum a_{n} para a série
\sum_{n=1}^{\infty} \sqrt[n]{1+7^{n}}.
Informações dadas:
a_n=\sqrt[n]{1+7^{n}}=(1+7^{n})^{1/n},\qquad n=1,2,3,\dots
A pergunta implícita é se a série converge e, se convergisse, qual seria a soma s. Aqui precisamos determinar o comportamento da série (convergência ou divergência) e, em caso de divergência, explicar por que.

Passo 2

Lema útil (teste da condição necessária): se uma série \sum_{n=1}^{\infty} a_n converge, então necessariamente
\lim_{n\to\infty} a_n = 0.
Explicação rápida e didática desse fato: se S_N=\sum_{n=1}^{N} a_n converge para um limite S quando N\to\infty, então a diferença entre dois somatórios consecutivos é
a_N = S_N - S_{N-1}.
Como S_N\to S e S_{N-1}\to S, a diferença a_N deve tender a 0. Logo, uma condição necessária para convergência é que os termos a_n vão a zero; se não vão a zero, a série diverge imediatamente. Esse é um teste muito simples e rápido que a gente sempre usa logo de cara.

Passo 3

Vamos analisar o comportamento do termo geral a_n=(1+7^{n})^{1/n}. Observação direta e muito simples:
1+7^{n} > 7^{n}\quad\text{para todo }n\ge 1,
portanto, tomando a raiz n-ésima (função monótona para números positivos),
(1+7^{n})^{1/n} > (7^{n})^{1/n}.
Como (7^{n})^{1/n}=7, obtemos
a_n=(1+7^{n})^{1/n} > 7\qquad\text{para todo }n\ge 1.
Isto significa que cada termo da sequência (a_n) é maior que 7, então claramente \lim_{n\to\infty} a_n não pode ser 0. Pelo teste do Passo 2, a série não converge.

Passo 4

Uma conclusão imediata e forte a partir do Passo 3: para as somas parciais S_N=\sum_{n=1}^{N} a_n vale
S_N = \sum_{n=1}^{N} a_n > \sum_{n=1}^{N} 7 = 7N.
Como 7N\to\infty quando N\to\infty, segue que S_N\to\infty. Ou seja, a série não só diverge, como diverge para +\infty — a soma parcial cresce pelo menos linearmente com N.

Passo 5

(Complemento explicativo, opcional mas didático) Se quiser ver o comportamento exato do termo a_n quando n\to\infty, podemos calcular o limite:
(1+7^{n})^{1/n}=7\bigl(1+7^{-n}\bigr)^{1/n}.
Tomando logaritmo:
\ln\bigl((1+7^{-n})^{1/n}\bigr)=\frac{1}{n}\ln(1+7^{-n}).
Como 7^{-n}\to 0 muito rápido, \ln(1+7^{-n})\sim 7^{-n} e portanto \frac{1}{n}\ln(1+7^{-n})\to 0. Assim (1+7^{-n})^{1/n}\to 1 e
\lim_{n\to\infty} a_n = 7.
Isso confirma que os termos não tendem a zero (tendem a 7), reforçando a divergência. Note que os termos são sempre maiores que 7 e tendem para 7 por cima.

Resposta

\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \sqrt[n]{1+7^{n}}=+\infty

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