Encontre s=\sum a_{n} para as séries abaixo:
\sum_{n=0}^{\infty}\left[\left(\frac{2}{7}\right)^{n}+\left(\frac{3}{5}\right)^{n+2}\right]

Passo 1

O enunciado pede para encontrar s=\sum a_{n} da série
\sum_{n=0}^{\infty}\left[\left(\frac{2}{7}\right)^{n}+\left(\frac{3}{5}\right)^{n+2}\right].
Informações dadas:
\,n varia de 0 até \infty.
O termo geral é a soma de duas parcelas: \left(\frac{2}{7}\right)^{n} e \left(\frac{3}{5}\right)^{n+2}.
A tarefa é calcular a soma total (se a série convergir).

Passo 2

Verificar convergência e separar em duas séries mais simples.
Observamos que \left|\frac{2}{7}\right|<1 e \left|\frac{3}{5}\right|<1. Portanto cada sequência geométrica converge.
Pela linearidade das somas, podemos somar termo a termo:
\sum_{n=0}^{\infty}\left[\left(\frac{2}{7}\right)^{n}+\left(\frac{3}{5}\right)^{n+2}\right] = \sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{2}{7}\right)^{n} + \sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{3}{5}\right)^{n+2}.

Passo 3

Lembrar e derivar a fórmula da série geométrica convergente.
Se |r|<1, então
S=\sum_{n=0}^{\infty}r^{n}
converge e satisfaz (derivação clássica):
S=1+r+r^{2}+\dots
Multiplicando por r e subtraindo:
rS=r+r^{2}+\dots\quad\Rightarrow\quad S-rS=1\quad\Rightarrow\quad S(1-r)=1.
Logo
\sum_{n=0}^{\infty}r^{n}=\frac{1}{1-r}.
Aqui r é a razão (cada termo é r vezes o anterior).

Passo 4

Aplicar a fórmula à primeira série \sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{2}{7}\right)^{n}.
Tomando r=\frac{2}{7} temos
\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{2}{7}\right)^{n}=\frac{1}{1-\frac{2}{7}}=\frac{1}{\frac{5}{7}}=\frac{7}{5}.

Passo 5

Tratar a segunda série \sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{3}{5}\right)^{n+2} reescrevendo o deslocamento do expoente.
Note que \left(\frac{3}{5}\right)^{n+2}=\left(\frac{3}{5}\right)^{2}\left(\frac{3}{5}\right)^{n}.
Portanto
\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{3}{5}\right)^{n+2} =\left(\frac{3}{5}\right)^{2}\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{3}{5}\right)^{n}.
Usando a fórmula com r=\frac{3}{5}:
\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{3}{5}\right)^{n}=\frac{1}{1-\frac{3}{5}}=\frac{1}{\frac{2}{5}}=\frac{5}{2}.
Multiplicando:
\left(\frac{3}{5}\right)^{2}\cdot\frac{5}{2}=\frac{9}{25}\cdot\frac{5}{2}=\frac{9\cdot5}{25\cdot2}=\frac{45}{50}=\frac{9}{10}.

Passo 6

Somar as duas parcelas obtidas.
Temos
\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{2}{7}\right)^{n}=\frac{7}{5},\qquad \sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{3}{5}\right)^{n+2}=\frac{9}{10}.
Somando:
s=\frac{7}{5}+\frac{9}{10}=\frac{14}{10}+\frac{9}{10}=\frac{23}{10}.

Resposta

\dfrac{23}{10}

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