Verifique se as séries abaixo convergem ou divergem justificando suas afirmações:
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a série
converge ou diverge, e justificar a resposta. As informações dadas são apenas a expressão do termo geral da série para
:
Não há outras condições no enunciado. Nosso objetivo é decidir convergência (condicional, absoluta ou divergência) com justificativa.
Passo 2
Vou explicar um conceito importante que vou usar: definição de convergência absoluta. Dizemos que a série
converge absolutamente se a série de termos positivos
converge. Uma consequência útil é que se
converge então
também converge (convergência absoluta implica convergência). Então uma boa estratégia é testar a série dos módulos
Se essa converge, terminamos (a série original converge absolutamente).
Passo 3
Aplico um teste de comparação simples. Note que, para todo
, temos
(porque
e
). Portanto
Isso mostra que cada termo positivo
é menor ou igual ao correspondente termo da série geométrica
.
Passo 4
Agora lembro a propriedade da série geométrica: a série
é geométrica com razão
e
, logo converge. Mais precisamente, sua soma pode ser calculada por
mas não precisamos do valor exato, apenas do fato de que converge.
Passo 5
Pelo teste de comparação (ou pelo teste da comparação direta): se
para todo
e
converge, então
converge. Aplicando com
e
, concluímos que
converge. Ou seja, a série dos módulos
converge.
Passo 6
Como
converge, a série original
converge absolutamente. E sabendo que convergência absoluta implica convergência, concluímos que a série dada converge.