Verifique se as séries abaixo convergem ou divergem justificando suas afirmações:
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n+5^{n}}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a série
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n+5^{n}}
converge ou diverge, e justificar a resposta. As informações dadas são apenas a expressão do termo geral da série para n\ge 2:
a_n = \frac{(-1)^{n}}{n+5^{n}}.
Não há outras condições no enunciado. Nosso objetivo é decidir convergência (condicional, absoluta ou divergência) com justificativa.

Passo 2

Vou explicar um conceito importante que vou usar: definição de convergência absoluta. Dizemos que a série \sum a_n converge absolutamente se a série de termos positivos \sum |a_n| converge. Uma consequência útil é que se \sum |a_n| converge então \sum a_n também converge (convergência absoluta implica convergência). Então uma boa estratégia é testar a série dos módulos
\sum_{n=2}^{\infty} |a_n| = \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n+5^{n}}.
Se essa converge, terminamos (a série original converge absolutamente).

Passo 3

Aplico um teste de comparação simples. Note que, para todo n\ge 2, temos n+5^{n}\ge 5^{n} (porque n\ge 0 e 5^n>0). Portanto
\frac{1}{n+5^{n}} \le \frac{1}{5^{n}}.
Isso mostra que cada termo positivo \dfrac{1}{n+5^{n}} é menor ou igual ao correspondente termo da série geométrica \dfrac{1}{5^{n}}.

Passo 4

Agora lembro a propriedade da série geométrica: a série
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{5^{n}}
é geométrica com razão r=\dfrac{1}{5} e |r|<1, logo converge. Mais precisamente, sua soma pode ser calculada por
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{5^{n}} = \frac{\left(\dfrac{1}{5}\right)^{2}}{1-\dfrac{1}{5}} = \frac{1/25}{4/5} = \frac{1}{20},
mas não precisamos do valor exato, apenas do fato de que converge.

Passo 5

Pelo teste de comparação (ou pelo teste da comparação direta): se 0\le b_n\le c_n para todo n e \sum c_n converge, então \sum b_n converge. Aplicando com b_n=\dfrac{1}{n+5^n} e c_n=\dfrac{1}{5^n}, concluímos que
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n+5^{n}}
converge. Ou seja, a série dos módulos \sum |a_n| converge.

Passo 6

Como \sum |a_n| converge, a série original \sum a_n converge absolutamente. E sabendo que convergência absoluta implica convergência, concluímos que a série dada converge.

Resposta

\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n+5^{n}} converge absolutamente, portanto converge.

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