b) Encontre f sabendo que f^prime prime(theta)=sen theta+cos 2 theta, f(0)=3 / 4 e f(pi / 2)=1 / 4+2 pi.

Passo 1

Temos a derivada segunda f’’(θ)=sen θ+cos2θ com as condições f(0)=3/4 e f(π/2)=1/4+2π. O conteúdo é integração de funções trigonométricas; vamos integrar duas vezes e usar as condições iniciais para achar as constantes de integração.

Passo 2

Integramos f’’(θ) para obter f’(θ). Como ∫sen θ dθ=−cos θ e ∫cos2θ dθ=½ sin2θ, temos:
f'(θ)=-cos θ+12sin2θ+C1

Passo 3

Agora integramos f’(θ) para achar f(θ). Sabendo que ∫−cos θ dθ=−sin θ, ∫(½)sin2θ dθ=−(1/4)cos2θ e ∫C_1 dθ=C_1θ, obtemos:
f(θ)=-sin θ-14cos2θ+C1θ+C2

Passo 4

Usamos f(0)=3/4. Substituindo θ=0 na expressão de f(θ):
f(0)=-0-14cdot1+0cdot C1+C2=-14+C2=34
Logo C_2=1.

Passo 5

Usamos f(π/2)=1/4+2π. Para θ=π/2 temos sin(π/2)=1 e cos(π)=−1, então:
fl(tfracπ2r)=-1-14(-1)+C1π2+1=-1+14+C1π2+1=14+C1π2
Igualando a 1/4+2π dá:
14+C1π2=14+2πimplies C1=4

Passo 6

Substituindo C_1=4 e C_2=1 em f(θ), concluímos:
f(θ)=-sin θ-14cos2θ+4θ+1

Resposta

f(θ)=-sin θ-tfrac14cos2θ+4θ+1

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