b) Encontre
sabendo que
e
.
Passo 1
Temos a derivada segunda f’’(θ)=sen θ+cos2θ com as condições f(0)=3/4 e f(π/2)=1/4+2π. O conteúdo é integração de funções trigonométricas; vamos integrar duas vezes e usar as condições iniciais para achar as constantes de integração.
Passo 2
Integramos f’’(θ) para obter f’(θ). Como ∫sen θ dθ=−cos θ e ∫cos2θ dθ=½ sin2θ, temos:
Passo 3
Agora integramos f’(θ) para achar f(θ). Sabendo que ∫−cos θ dθ=−sin θ, ∫(½)sin2θ dθ=−(1/4)cos2θ e ∫C_1 dθ=C_1θ, obtemos:
Passo 4
Usamos f(0)=3/4. Substituindo θ=0 na expressão de f(θ):
Logo C_2=1.
Passo 5
Usamos f(π/2)=1/4+2π. Para θ=π/2 temos sin(π/2)=1 e cos(π)=−1, então:
Igualando a 1/4+2π dá:
Passo 6
Substituindo C_1=4 e C_2=1 em f(θ), concluímos: