a) Em todos as pontos de uma curva y=integral(x) tem se que y^prime prime=cos x-sen x-x^2. Obtenha a equação da curva se ela passa pelo ponto (0,3) e a reta tangente a ela nesse ponto é perpendicular à reta y-x=0.

Passo 1

O enunciado dá a segunda derivada da curva como y''(x)=cos x-sin x - x^2, e informa as condições iniciais: a curva passa por (0,3) e a reta tangente em x=0 é perpendicular à reta y - x = 0, logo y'(0)=-1. Vamos usar integração de derivadas e aplicar essas condições para determinar y(x).

Passo 2

Integramos y''(x) para obter y'(x). Usando antiderivação:
y'(x)=integral(cos x-sin x - x^2),dx = sin x + cos x - x^33 + C1
Aplicando y'(0)=-1:
y'(0)=0+1-0 + C1 = 1 + C1 = -1 implies C1 = -2
Portanto
y'(x)=sin x + cos x - x^33 - 2

Passo 3

Agora integramos y'(x) para achar y(x):
y(x)=integrall(sin x + cos x - tfracx^33 - 2r),dx = -cos x + sin x - x^412 - 2x + C2
Usando y(0)=3:
y(0) = -1 + 0 + 0 + 0 + C2 = -1 + C2 = 3 implies C2 = 4
Logo
y(x) = -cos x + sin x - x^412 - 2x + 4

Exercícios relacionados