Resolver as integrais a seguir, apresentando o desenvolvimento de forma organizada:
integral x^2 cdot cos 3 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral x^2cos(3x),dx. O conteúdo principal é integração por partes e vamos precisar da fórmula integral u,dv = u v - integral v,du.

Passo 2

Escolher u = x^2 e dv = cos(3x),dx. Assim, derivando e integrando obtemos
du = 2x,dx,
e
v = integral cos(3x),dx = 13sin(3x)

Passo 3

Aplicar a primeira integração por partes:
integral x^2cos(3x),dx = u v - integral v,du = x^23sin(3x) - 23integral xsin(3x),dx
Agora restou calcular integral xsin(3x),dx.

Passo 4

Para integral xsin(3x),dx aplicamos integração por partes de novo, escolhendo u1 = x e dv1 = sin(3x),dx. Assim
du1 = dx,
v1 = integral sin(3x),dx = -13cos(3x)

Passo 5

Aplicar a segunda integração por partes:
integral xsin(3x),dx = u1v1 - integral v1,du1 = -x3cos(3x) + 13integral cos(3x),dx

Passo 6

Calcular a integral elementar restante:
integral cos(3x),dx = 13sin(3x)

Passo 7

Substituir no resultado de integral xsin(3x),dx:
integral xsin(3x),dx = -x3cos(3x) + 13cdot13sin(3x) = -x3cos(3x) + 19sin(3x)

Passo 8

Voltar à expressão original:
integral x^2cos(3x),dx = x^23sin(3x) - 23l(-x3cos(3x) + 19sin(3x)r)

Passo 9

Distribuir e combinar termos semelhantes:
x^23sin(3x) + 2x9cos(3x) - 227sin(3x) = 9x^2 - 227sin(3x) + 2x9cos(3x)

Passo 10

Esse é o resultado simplificado da integral.

Resposta

integral x^2cos(3x),dx = 9x^2 - 227sin(3x) + 2x9cos(3x) + C.

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