Resolva a integral a seguir:
Passo 1
Vamos resolver a integral
. Esse exercício faz parte do conteúdo de cálculo integral, especificamente usando o método de integração por partes. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar essa técnica duas vezes.
Passo 2
Primeiro, lembrando que a integração por partes é baseada na fórmula:
Vamos escolher
e
. Assim, precisamos calcular
e
.
Passo 3
Calculando
e
:
Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes.
Passo 4
Aplicando a fórmula:
Simplificando:
Passo 5
Agora, precisamos resolver a nova integral
, usando novamente integração por partes. Vamos escolher
e
.
Passo 6
Calculando
e
:
Aplicando a fórmula novamente.
Passo 7
Aplicando a integração por partes:
Simplificando:
Passo 8
Voltando à equação anterior:
Simplificando:
Passo 9
Vamos chamar nossa integral original de
:
Substituindo na equação:
Agora, somando
dos dois lados:
Passo 10
Agora, isolando
:
Simplificando:
Onde
é a constante de integração.
Resposta
A integral
é igual a: