Resolva a integral a seguir:
integral e^2 x cos x d x

Passo 1

Vamos resolver a integral integral e^2x cos x , dx. Esse exercício faz parte do conteúdo de cálculo integral, especificamente usando o método de integração por partes. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar essa técnica duas vezes.

Passo 2

Primeiro, lembrando que a integração por partes é baseada na fórmula:
integral u , dv = u v - integral v , du
Vamos escolher u = cos x e dv = e^2x dx. Assim, precisamos calcular du e v.

Passo 3

Calculando du e v:
du = -sin x , dx
v = integral e^2x dx = e^2x2
Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes.

Passo 4

Aplicando a fórmula:
integral e^2x cos x , dx = u v - integral v , du = cos x cdot e^2x2 - integral e^2x2 (-sin x) , dx
Simplificando:
= e^2x cos x2 + 12 integral e^2x sin x , dx

Passo 5

Agora, precisamos resolver a nova integral integral e^2x sin x , dx, usando novamente integração por partes. Vamos escolher u = sin x e dv = e^2x dx.

Passo 6

Calculando du e v:
du = cos x , dx
v = integral e^2x dx = e^2x2
Aplicando a fórmula novamente.

Passo 7

Aplicando a integração por partes:
integral e^2x sin x , dx = sin x cdot e^2x2 - integral e^2x2 cos x , dx
Simplificando:
= e^2x sin x2 - 12 integral e^2x cos x , dx

Passo 8

Voltando à equação anterior:
integral e^2x cos x , dx = e^2x cos x2 + 12 ( e^2x sin x2 - 12 integral e^2x cos x , dx )
Simplificando:
integral e^2x cos x , dx = e^2x cos x2 + e^2x sin x4 - 14 integral e^2x cos x , dx

Passo 9

Vamos chamar nossa integral original de I:
I = integral e^2x cos x , dx
Substituindo na equação:
I = e^2x cos x2 + e^2x sin x4 - 14 I
Agora, somando 14 I dos dois lados:
I + 14 I = e^2x cos x2 + e^2x sin x4
54 I = e^2x cos x2 + e^2x sin x4

Passo 10

Agora, isolando I:
I = ( e^2x cos x2 + e^2x sin x4 ) cdot 45
Simplificando:
I = 2 e^2x cos x + e^2x sin x5
I = e^2x (2 cos x + sin x)5 + C
Onde C é a constante de integração.

Resposta

A integral integral e^2x cos x , dx é igual a:
e^2x (2 cos x + sin x)5 + C

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