Encontre d yd x das seguintes equações:
Encontre d yd x derivando implicitamente
raizx+y=1+x^2 y^2

Passo 1

O enunciado nos dá a relação
raizx+y ;=; 1 + x^2 y^2
e pede dydx obtido por derivação implícita. Vamos usar a regra da cadeia para o lado esquerdo e regra do produto para o termo x^2y^2 do lado direito.

Passo 2

Reescrevendo raizx+y como (x+y)^1/2 e derivando ambos os lados em relação a x, temos
ddxl((x+y)^1/2r) ;=; ddxl(1 + x^2 y^2r)
No lado esquerdo, pela regra da cadeia:
ddxl((x+y)^1/2r) = tfrac12(x+y)^-1/2,l(1 + y'r),
onde y'=tfracdydx.
No lado direito, derivando 1 0 e para x^2y^2 aplicamos produto:
ddx(x^2y^2) = 2x,y^2 + x^2cdot 2y,y' = 2x,y^2 + 2x^2y,y'

Passo 3

Igualando as derivadas:
tfrac12(x+y)^-1/2,(1 + y') ;=; 2x,y^2 + 2x^2y,y'
Multiplicamos ambos os lados por 2raizx+y para simplificar:
1 + y' ;=; l(2x,y^2 + 2x^2y,y'r),2raizx+y ;=; 4x,y^2raizx+y ;+;4x^2yraizx+y;y'

Passo 4

Reagrupamos os termos que contêm y' num mesmo lado:
1 + y' ;=; 4x,y^2raizx+y + 4x^2yraizx+y,y' Longrightarrow y' - 4x^2yraizx+y,y' = 4x,y^2raizx+y - 1
Fatorando y':
y',l(1 - 4x^2yraizx+yr) = 4x,y^2raizx+y - 1

Passo 5

Isolando y', obtemos
dydx = y' = 4x,y^2raizx+y;-;1 1 ;-;4x^2yraizx+y

Resposta

dydx = 4x,y^2raizx+y - 11 - 4x^2yraizx+y

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